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EXERCICE 13-C

Champ de gravitation terrestre

Rappel : F = G.mM / r² = m.g qui entraîne g = G.M / r²

 

EXERCICE


ENONCE : Champ de gravitation terrestre


·
1-
  Vecteur champ de gravitation terrestre.


a) Définir le vecteur champ de gravitation à l'extérieur de la Terre.


b)
Calculer la valeur du champ de gravitation g0 au niveau du sol.


c)
Calculer la valeur de g à l'altitude h = 35786 km où gravitent les satellites géostationnaires

Masse de la Terre : M = 5,98 ´ 10 24 kg

Rayon terrestre : R0 = 6378 km

Constante de gravitation G = 6,67 ´ 10 - 11 S.I.


· 2-
 Expression de g en fonction de go.


a) A la surface de la terre de rayon Ro = 6378 km le vecteur champ de gravitation terrestre a pour norme go = 9,80 N/kg.

Calculer la valeur de g à la distance R = 42164 km du centre de la Terre.


b)
Calculer l'altitude h à laquelle le champ gravitationnel a diminué de 1%.


· 3-
Lignes du champ gravitationnel


a) Définir et tracer les lignes du champ gravitationnel régnant autour de la terre supposée seule dans l'univers.


b)
Définir et tracer les lignes du champ gravitationnel régnant autour du système terre-lune supposé seul.


SOLUTION :


· 1-
  Vecteur champ de gravitation terrestre.

a) Définissons le vecteur champ de gravitation à l'extérieur de la Terre.

La Terre de masse M, de centre O, exerce sur un objet ponctuel situé au point A, une force d'attraction gravitationnelle :

 

b) Calculons la valeur du champ de gravitation g0 au niveau du sol.

Au niveau du sol la relation (2) permet d'écrire :

go = G M / (Ro)2 (3)

L'énoncé donne :

M = 5,98 ´ 10 24 kg

R0 = 6378 km = 6378000 m

G = 6,67 ´ 10 - 11 S.I.

Portons ces valeurs dans la relation (3) :

go = G M / (Ro)² = 6,67 ´ 10 - 11 ´ (5,98 ´ 1024) / (6378000)2

go = 9,81 N / kg (4)

c) - Calculons la valeur de g à l'altitude h = 35786 km où gravitent les satellites géostationnaires.

A l'altitude h = 35786 km, on a :

r = Ro + h = 6378 + 35786 = 42164 km = 42164000 m

La valeur de g est alors :

g = G M / r² = 6,67 ´ 10 - 11 ´ (5,98 ´ 1024) / (42164000)²

g = 0,224 N / kg (5)


· 2-  Expression de g en fonction de go.

a) Calculons la valeur de g à la distance R = 42164 km du centre de la Terre.

A la surface de la terre, on a :

go = G M / Ro2 (6)

A la distance R > Ro du centre de la terre, on écrit :

g = G M / R2 (7)

Les relations (6) et (7) donnent :

g R² = go Ro2.

On en déduit :

g = go Ro2 / R2 = 9,80 ´ 6378000² / 42164000² soit

g = 0,224 N / kg (8)

b) Calculons l'altitude h à laquelle le champ gravitationnel a diminué de 1%.

Au sol :

go = 9,80 N / kg

A l'altitude h, on veut que g ait diminué de 1 % et prenne donc la valeur :

g = 9,80 - 9,80 / 100 = 9,70 N / kg

La relation (7) s'écrit aussi :

g = G M R - 2

Par différenciation, on obtient :

dg / g = - 2 dR / R

- 1 / 100 = - 2 dR / 6378000 soit

dR = 6378000 / 200 = 31890 m

Si la distance R augmente de 31890 m alors g diminue de 1 %.

A l'altitude h = 31890 m (environ 32 km) le champ gravitationnel a diminué de 1% (9)


·
3-
Lignes du champ gravitationnel


a) Définissons et traçons les lignes du champ gravitationnel régnant autour de la terre supposée seule dans l'univers.

Définition : Les lignes du champ gravitationnel sont les lignes tangentes au vecteur champ gravitationnel en chaque point. Elles sont orientées dans le sens de . L'ensemble de ces lignes forment le spectre gravitationnel. . (10)

Champ vectoriel associé au champ gravitationnel terrestre :

(11)


b) Définissons et traçons les lignes du champ gravitationnel régnant autour du système terre-lune supposé seul.

(12)

 Le champ gravitationnel est nul au point O (voir Exercice 13-D).

 

A VOIR :

Exercice 13-A : Connaissances du cours n° 13

Exercices 13-B : Exemple de champ scalaire - Exemple de champ vectoriel : Champ magnétique.

Exercices 13-C : Champ de gravitation terrestre (ci-dessus).

Exercice 13-D : Point où le champ gravitationnel est nul entre la Terre et la Lune.

Exercices 13 E : Interaction électrique.

Exercices 13-F : Doublet électrique.

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