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EXERCICE 13-D

Point où le champ gravitationnel est nul entre la Terre et la Lune

  Rappel : F = G.mM / r² = m.g ® g = G.M / r²

 

EXERCICE


ENONCE :
 Interaction gravitationnelle entre la Terre et la Lune.

La question 1 a déjà été traitée dans l'exercice 8-B.


· 1-
 Forces de Newton entre la Terre et la Lune

a) Enoncer la loi de gravitation universelle pour deux corps ponctuels de masse m et M, ou pour deux corps à répartition sphérique de masse. (corrigé)

b) Calculer la valeur numérique des deux forces de Newton s'exerçant entre la Terre (M = 5,98 ´ 10 24 kg) et la Lune (m = 7,34 ´ 10 22 kg). On suppose que la distance entre la Terre et son satellite reste égale à 384000 km.

Constante de gravitation G = 6,67 ´ 10 - 11 N.m ² / kg ². (c)


· 2-  Absence de gravitation

Entre la Terre et la Lune existe un point O où le champ gravitationnel est nul. Déterminer la position de O par rapport au centre de la Terre. La distance du centre de la Terre au centre de la Lune est supposée constante et voisine de 384000 km. (c)


SOLUTION :


· 1-
 Forces de Newton entre la Terre et la Lune

a) (énoncé) Enoncé de la loi de gravitation universelle pour deux corps ponctuels de masse m et M, ou pour deux corps à répartition sphérique de masse.

Loi de la gravitation universelle :

Deux objets ponctuels A et B exercent l'un sur l'autre une force attractive dirigée suivant la droite qui les joint. Cette force varie proportionnellement au produit de leurs masses et à l'inverse du carré de la distance qui les sépare.

(1)

· est un vecteur unitaire dirigé de A vers B.

· r est la distance qui sépare A et B.

· G = 6,67.10 - 11 (S.I) est la constante de gravitation.

(2) 

 

Remarque : Cette relation est encore vraie pour deux objets à répartition sphérique de masse.

b) (e) Calculons la valeur numérique des deux forces de Newton s'exerçant entre la Terre et la Lune

En assimilant la Terre et la Lune à deux corps à symétrie sphérique de masse, on peut calculer la valeur de la force FT-L qu'exerce la Terre sur la Lune, égale et opposée à la force FL-T qu'exerce la Lune sur la Terre.

FT-L = FL-T = G.m.M / r² (3)

FT-L = FL-T = 6,67.10 - 11 ´ (7,34.10 22) ´ 5,98.10 24 / 384000000 ²

FT-L = FL-T = 1,98 ´ 10 20 N (4)

(5)


2-
 (e) Absence de gravitation


Déterminons la position du point O où le champ gravitationnel est nul entre la Terre et la Lune.

(6)

 

Lorsqu'on se place au point O, le champ de gravitation de la Terre gT = G . M / OT ² (7) doit être égal au champ de gravitation de la Lune gL = G . m / OL² (8).

On écrit donc :

gT = gL (au point O) (9)

G . M / OT ² = G . m / OL²

OL² = OT ² ( m / M )

OL = 0,1108 OT (10)

De plus :

OL + OT = 384000000 (11)

Les relations (10) et (11) conduisent à :

OT = 345700155 m = 3,46 ´ 10 8 m (12)

A VOIR :

Exercice 13-A : Connaissances du cours n° 13

Exercices 13-B : Exemple de champ scalaire - Exemple de champ vectoriel : Champ magnétique.

Exercices 13-C : Champ de gravitation terrestre.

Exercices 13-D : Point où le champ gravitationnel est nul entre la Terre et la Lune (ci-dessus).

Exercices 13 E : Interaction électrique.

Exercices 13-F : Doublet électrique.

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