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Leçon n° 13 : CHAMPS ET FORCES

 

Cette leçon comporte cinq paragraphes.

 

1- CHAMPS SCALAIRES


· 1-1 Définition

Un champ scalaire est la représentation des différentes valeurs prises par une grandeur scalaire en divers points de l'espace. (1)


· 1-2 Exemple de champ scalaire

La figure ci-dessous donne la grandeur température (en degrés Celsius) dans les différentes villes du département des Bouches-du-Rhône à une date précise.

(2)

Voir aussi l'exercice 1.

Remarque 1

    Une autre grandeur scalaire pourrait être représentée sur une carte semblable : la pression atmosphérique en pascal (Pa ou N / m2) à une date précise.

    Remarque 2

    Un champ scalaire est dit uniforme si la grandeur qui le caractérise garde la même valeur en tout point de l’espace. (3)

 

2- CHAMPS VECTORIELS


· 2-1 Rappel : grandeur vectorielle

Un vecteur possède 4 caractéristiques :

- son point d'application A.

- sa direction : la droite (AB) confondue avec la droite (BA).

- son sens : de A vers B.

- sa norme > 0 (grandeur affectée d'une unité).


· 2-2 Définition

On appelle champ vectoriel la représentation d’un ensemble de vecteurs représentant une grandeur en différents points de l’espace. Chaque vecteur dépend de la position du point. (4)

Remarque 1 : Un champ vectoriel est dit uniforme si le vecteur qui le caractérise reste le même en tout point de l’espace (même direction, même sens et même norme). (5)

Remarque 2 : On appelle lignes de champ les courbes tangentes au vecteur champ en chacun de leurs points. Elles sont orientées dans le sens du vecteur champ. (6)


· 2-3 Exemple de champ vectoriel

La figure ci-dessous représente les vecteurs "vitesse du vent" dans le département des Bouches-du-Rhône à une date précise.

(7)

Dans les paragraphes suivants nous allons étudier d'autres champs vectoriels : le champ de gravitation terrestre, le champ de pesanteur, le champ électrostatique, le champ magnétique.

 

3- CHAMP VECTORIEL DE GRAVITATION ET CHAMP VECTORIEL DE PESANTEUR

 
· 3-1 Loi de gravitation universelle (Newton 1687)

Rappelons cette loi déjà citée à la leçon 8.

Loi de Newton : Deux objets ponctuels A et B, de masses MA et MB, séparés par une distance r, exercent l'un sur l'autre des forces attractives dirigées suivant la droite qui les joint et de même valeur :

FA = FB =   (8)

r est la distance qui sépare A et B.

G est la constante de gravitation. G = 6,67 ´ 10 - 11 dans le système international d'unités (S.I.)

   (9)

Cette relation est encore vraie pour deux objets à répartition sphérique de masse. Elle permettra, en particulier, en classe de terminale S, d'expliquer le mouvement des planètes autour du Soleil ou des satellites autour de la Terre.

Remarque : Sous forme vectorielle, on peut écrire :

(10)

est le vecteur unitaire dirigé de A vers B.

(11)

Cette force gravitationnelle est la principale responsable du poids d'un objet sur Terre, du mouvement des planètes autour du Soleil, des marées aquatiques, etc.


· 3-2 Champ vectoriel de gravitation terrestre

· On assimile la Terre à un objet à répartition sphérique de masse. Soit M sa masse, R son rayon et O son centre.

· D'après la loi de Newton tout objet ponctuel de masse m situé à une distance r > R du centre O est attiré par la Terre avec une force centripète :

= G (m . M / r 2) . (10 bis)

Le vecteur unitaire est centripète. (12)

· On peut dire que tout autour de la Terre existe un champ vectoriel de gravitation terrestre :

avec gTerre = G M / r 2. (13)

· Les lignes de ce champ vectoriel sont radiales et centripètes. (14)

(15)


·
3-3 Champ vectoriel de pesanteur

Définition : On appelle poids d'un objet quasi ponctuel de masse m, situé en un point extérieur à la Terre, la force s'opposant à la tension du fil qui maintient cet objet ponctuel au repos par rapport au solide Terre, pris comme référentiel. (16)

Dans ce système de référence, le poids de l'objet ponctuel peut se mettre sous la forme :

= m (17)

= (/ m ) est, par définition, le vecteur champ de pesanteur local au point M considéré. (18)

Attention : = (/ m ) est, par définition, différent de (voir ci-dessous).

Au voisinage de la Terre existe donc un champ vectoriel de pesanteur. Les lignes de champ sont des verticales orientées vers le bas qui ne passent qu'approximativement par le centre de la Terre (voir ci-dessous). (19)

Remarque 1 : Pour certains objets le montage doit se trouver sous vide afin de s'affranchir de la poussée d'Archimède. (20)

Remarque 2 : Dans un domaine restreint au voisinage de la Terre, on peut considérer que le champ de pesanteur est uniforme : le vecteur champ de pesanteur a même direction, même sens et même valeur en tout point de ce domaine restreint (voir l'étude des chutes rectilignes ou paraboliques en classe terminale). (21)


· 3-4 Distinction entre le poids d'un objet et la force d'attraction qu'exerce la Terre sur cet objet.

On peut écrire : = + + (22)

· est le poids de l'objet. (23)

· est la force d'attraction qu'exerce la terre sur cet objet. (24)

· est la force due à l'attraction des astres autres que la terre (lune, soleil, etc) sur cet objet. (25)

· est la force due à la rotation de la terre. (26)

· Dans les problèmes étudiés en Première S et en Terminale S on peut très souvent négliger et . (27)

On confond alors le poids d'un objet et la force d'attraction de Newton qu'exerce la terre sur cet objet.

On écrit :

= (28)

soit, en confondant la masse pesante et la masse gravitationnelle :

m = m ou encore :

= (29)

On confond donc le vecteur champ de pesanteur et le vecteur champ de gravitation terrestre .

On peut alors écrire (28 bis) avec g = gTerre = G M / r 2 (13 bis)

Cette valeur diminue avec l'altitude : R 6400 km désignant le rayon terrestre, on a :

g 9,81 (N / kg) au niveau de la mer [ r = R 6400 km ].

g 9,78 (N / kg) au sommet de l'Everest (altitude8,804 km ).

g 2,45 (N / kg) 9,81 / 4 (N / kg) à 6 400 km d'altitude [ r 2 R ].

g 1,09 (N / kg) 9,81 / 9 (N / kg) à 12 800 km d'altitude [ r 3 R ].

 

4- CHAMP ELECTROSTATIQUE


· 4-1 Loi de Coulomb

Dans la leçon 8 nous avons introduit la loi de Coulomb :

Deux charges électriques ponctuelles immobiles, qA et qB, placées en A et B exercent l'une sur l'autre une force dirigée suivant la droite qui les joint, répulsive si les charges sont de même signe, attractive si les charges sont de signe contraire. Cette force varie comme le produit de leurs charges et comme l'inverse du carré de la distance qui les sépare.

 

(30)

· est le vecteur unitaire dirigé de A vers B.

Tracer ce vecteur sur les figures ci-contre. (31)

· eo est la constante diélectrique (ou permittivité) du vide.

eo = 1 / ( 36 p 109 ) dans le système international d'unités. (32)

· La distance qui sépare A et B est r. (33)

 

Par conséquent une charge q placée au voisinage d'autres charges électriques immobiles sera soumise à une résultante des forces de Coulomb. Cela permet de définir au point où se trouve la charge q un champ électrostatique = / q . (34)

Au voisinage de charges électriques immobiles existe donc un champ vectoriel électrostatique qui s'exprime en N / C (ou mieux en V / m). (35)


·
4-2 Champ électrostatique dans un condensateur plan

(36)

· Le champ vectoriel électrostatique dans un condensateur plan est uniforme car le vecteur qui le caractérise reste le même en tout point de l’espace (même direction, même sens et même norme). (37)

· Ce champ vectoriel a une direction perpendiculaire aux plaques. (38)

· Son sens est orienté de la plaque positive vers la plaque négative. (39)

· Sa valeur est E = U / d . Elle s'exprime en V / m ou en N / C (définition ci-dessus). (40)

· Les 2 plaques soumises à la tension U (volt) sont distantes de d (mètre).

 

5- CHAMP MAGNETIQUE


· 5-1 Existence des champs magnétiques

Un champ magnétique peut être détecté par une petite boussole.

- Pôles d'une petite boussole : une petite aiguille aimantée rendue mobile et placée au voisinage de la Terre s'oriente suivant la direction nord ® sud. Par convention, on appelle pôle nord l'extrémité de la boussole qui pointe vers le pôle nord magnétique (distinct du pôle nord géographique) et on nomme pôle sud l'autre extrémité. (41)

- Un champ magnétique règne dans une région de l'espace lorsque une boussole y subit des actions mécaniques. (42)

- Tout champ magnétique est créé par un courant électrique à l’échelle humaine ou à l’échelle atomique. (43)

Le champ magnétique terrestre provient du mouvement du fer liquide, conducteur de l'électricité, dans le noyau de notre planète.

Le champ magnétique autour d'un aimant permanent provient d'un mouvement particulier des électrons autour du noyau des atomes.

- Nous admettrons que le champ magnétique, en un point P, peut être représenté par un vecteur noté (44) :

- origine du vecteur : le point P. (45)

- direction du vecteur ; celle prise par la petite boussole. (46)

- sens du vecteur : du pôle sud de la boussole détectrice vers son pôle nord. (47)

- norme mesurée par un teslamètre. Unité : le tesla. (48)

- Un spectre magnétique dessine les lignes de champ, tangentes au vecteur champ magnétique . (49)

On l'obtient avec de la limaille de fer. Chaque grain de limaille s’aimante et s’oriente comme une petite boussole dans le champ étudié.


· 5-2 Champ magnétique uniforme

· Le champ magnétique à l'intérieur d'un solénoïde suffisamment long, traversé par un courant d'intensité i, est sensiblement uniforme, et a pour valeur :

(50)

 - µo est la perméabilité magnétique du vide ou de l'air :

µo = 4 p ´ 10 - 7 S.I.

- N représente le nombre total de spires.

- L est la longueur de l’axe du solénoïde en mètre (m).

- L'ntensité i du courant est en ampère (A).

- La norme de est en tesla (T).

· Le sens du vecteur champ magnétique est lié au sens du courant traversant le solénoïde par la règle de la main droite : Le pouce de la main droite indique la direction et le sens du vecteur champ magnétique lorsque les autres doigts indiquent le sens du courant d'intensité i (voir le schéma).

 · Quelques lignes de champ sont représentées en rouge sur le schéma. Il est important de retenir que ces lignes sont fermées.

C'est seulement à l'intérieur du solenoïde, loin des extrémités, que les lignes de champ sont parallèles. C'est dans cette zône que le champ magnétique est uniforme et que sa valeur est donnée par la relation ci-dessus.


A VOIR :

Exercice 13-A : Connaissances du cours n° 13.

Exercices 13-B : Exemple de champ scalaire - Exemple de champ vectoriel : Champ magnétique.

Exercices 13-C : Champ de gravitation terrestre.

Exercices 13-D : Point où le champ gravitationnel est nul entre la Terre et la Lune.

Exercices 13 E : Interaction électrique.

Exercices 13-F : Doublet électrique.

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