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EXERCICES 14-B

Energie mécanique d'un solide dans le champ de pesanteur terrestre

Energie cinétique d'un satellite géostationnaire

 

EXERCICE 1


ENONCE : Energie mécanique d'un solide dans le champ de pesanteur terrestre


Un enfant lance verticalement, vers le haut, une bille de masse m avec une vitesse initiale de 10,0 m / s.

· 1- Quelle est la hauteur atteinte par la bille ? (corrigé)

· 2- Quelle est la vitesse de cette bille lorsqu'elle frappe le sol situé 1,50 m au dessous de son point de départ ?

On néglige la poussée d'Archimède et les frottements de l'air. On prendra g = 9,80 m / s. (c)


SOLUTION :


·
1-
(énoncé) Calculons la hauteur atteinte par la bille.

   

· Nous conviendrons de dire que l'énergie potentielle de la bille dans le champ de pesanteur est nulle lorsqu'elle se trouve au point de départ O (zO = 0 m) situé 1,50 m au dessus du sol (zA = - 1,50 m).

Au dessus de O l'énergie potentielle de la bille dans le champ de pesanteur sera positive. En dessous de O elle sera négative.

· Au point O, on a :

EP (O) = 0 J (4)

En ce point O, la vitesse de la bille est VO = + 10,0 m / s. Son énergie cinétique est :

EC (O) = m VO2 (5)

L'énergie mécanique de la bille dans le champ de pesanteur terrestre vaut alors :

Em (O) = EC (O) + EP (O) = m VO2 + 0 (6)

· En absence de frottement, líénergie mécanique de la bille dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se conserve en tout point de la trajectoire.

On peut donc écrire :

Em (S) = Em (O) (7)

EC (S) + EP (S) = EC (O) + EP (O) (8)

m VS2 + m g zS = m VO2 + m g zO (9)

Au sommet S de la trajectoire (voir la figure) la vitesse VS de la bille s'annule et, au point de départ O, l'ordonnée zO est nulle.

0 + m g zS = m VO2 + 0 (10)

Soit :

zS = VO2 / g (11)

zS = 10 2 / 9,80

zS = 5,10 m (12)

Remarque :

· La relation zS = VO2 / g montre que l'altitude atteinte par la bille ne dépend pas de la masse de celle-ci.

· Après avoir atteint le point S, la bille redescend en conservant toujours la même énergie mécanique. Elle repasse donc par le point de départ A (voir la figure) avec une vitesse de - 10 m / s (le signe - pour indiquer que la vitesse est alors représentée par un vecteur orienté vers le bas, en sens inverse de l'axe ).


· 2- (e) Calculons la vitesse de cette bille lorsqu'elle frappe le sol au point A situé 1,50 m au-dessous de son point de départ O (zA = - 1,50 m).

· On écrit encore que l'énergie mécanique de la bille dans le champ de pesanteur terrestre est la même depuis le point de départ O jusqu'au point A en lequel elle frappe le sol.

Em (A) = Em (O) (13)

EC (A) + EP (A) = EC (O) + EP (O) (14)

Attention : Au point A (voir la figure) l'énergie potentielle dans le champ de pesanteur terrestre EP (A) = m.g.zA est négative car la masse m est positive, la norme g du vecteur pesanteur est positive mais l'altitude de la bille est négative ( zA = - 1,50 m).

  La relation (14) s écrit :

m VA2 + m g zA = m VO2 + m g zO (15)

m VA2 + m g zA = m VO2 + 0 (16)

Divisons par m :

VA2 + g zA = VO2 + 0

VA2 = VO2 - 2 g zA (17)

VA2 = 102 - 2 ´ 9,8 ´ ( - 1,50 )

VA2 = 129,4 (18)

· Des deux solutions mathématiques ± 11,37, il ne faut retenir que la solution négative (le vecteur vitesse a une ordonnée négative sur l'axe orienté vers le haut) (voir la figure) :

VA = - 11,37 m/ s (19)

  Remarque : Il est intéressant de refaire l'exercice en convenant de prendre nulle l'énergie potentielle de la bille dans le champ de pesanteur lorsqu'elle se trouve au niveau du sol.

 

EXERCICE 2


ENONCE : Energie cinétique d'un satellite géostationnaire

Un satellite géostationnaire reste au dessus d'un point de l'équateur terrestre à une altitude h = 3,6 x 10 4 km. Il est assimilé à un point de masse m = 600 kg.


·
1-
Quelle est l'énergie cinétique du satellite dans le référentiel terrestre ? (corrigé)


·
2-
Quelle est l'énergie cinétique du satellite dans le référentiel géocentrique ?

Le référentiel géocentrique est formé par le centre de la terre et par les centres de 3 étoiles lointaines. Les quatre points étant nécessairement non coplanaires. (voir le lexique)

Dans ce référentiel la Terre de rayon r = 6,4 x 10 3 km fait un tour sur elle-même en T = 24 h. (c)


SOLUTION :


·
1-
(énoncé) Dans le référentiel terrestre, le satellite stationnaire est immobile. Sa vitesse est donc nulle. Par suite :

Energie cinétique du satellite géostationnaire dans le référentiel terrestre = . m . (0)2 = 0 joule = 0 J (20)


· 2- (e) Calculons l'énergie cinétique du satellite géostationnaire dans le référentiel géocentrique.

Dans le référentiel géocentrique le satellite géostationnaire décrit un cercle de rayon R = r + h en un temps T = 24 h = 24 x 3600 s = :86400 s (21)

R = r + h = 6,4 x 10 3 + 3,6 x 10 4 = 4,24 x 10 4 km = 42400 km = 42400000 m = 4,24 x 10 7 m (22)

La circonférence de ce cercle est :

L = 2 p R (23)

L = 2 x 3,14 x 4,24 x 10 7 = 26,6272 x 10 7 m

L = 2,66272 x 10 8 m (24)

La vitesse du satellite géostationnaire dans le référentiel géocentrique est :

V = L / T (25)

V = 2,66 x 10 8 / 86400 = 3081,8 m / s

V = 3,082 x 10 3 m / s (26)

L'énergie cinétique du satellite de masse m = 600 kg dans le référentiel géocentrique est :

Ec = . m . V 2 (27)

Ec = x 600 x 3082 2

Ec = 2,85 x 10 9 joules = 2,85 x 10 9 J (28)

 

A VOIR :

Exercice 14-A : Connaissances du cours n° 14.

Exercice 14-B : Energie mécanique d'un solide dans le champ de pesanteur terrestre - Energie cinétique d'un satellite géostationnaire. (ci-dessus)

Exercice 14-C : Energie mécanique d'un projectile dans un champ de pesanteur uniforme.

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