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Leçon n° 1 : RAPPELS DE MATHEMATIQUES

 

1- TRIGONOMETRIE


· Définition des lignes trigonométriques

- Considérons le triangle ABC rectangle en B. Désignons par a la mesure de l'angle de sommet A.

(1) 

AC est l'hypothénuse.

AB est le coté adjacent à l'angle a.

BC est le coté opposé à l'angle a.

 

    - Le cosinus, le sinus et le tangente de l'angle a sont définis par :

    (2)

     

     

     

- Aide-mémoire :

Cah Soh Toa

CahCos a = adjacent / hypothénuse

SohSin a = opposé / hpothénuse

ToaTan a = opposé / adjacent

· On définit de la même façon cos b, sin b, tan b, b étant la mesure de l'angle de sommet C :

(3) 

    (4)

· Le théorème de Pythagore s'écrit : AC2 = AB2 + BC2 (5)

· cos ( 90 - a ) = sin a (6) sin ( 90 - a ) = cos a (7)


2- PRODUIT SCALAIRE . DE DEUX VECTEURS


Définition : . = . cos (, ). (8). On obtient un scalaire.

Propriété : On montre que l'on a aussi . = Fx Lx + Fy Ly (9)

 

3- COORDONNEES D’UN VECTEUR DANS UNE BASE ORTHONORMEE

 
3-1 COORDONNEES

(10)

 

3-2 EXERCICE :  Equilibre d'un solide sur un plan incliné.

Enoncé :

Un solide homogène cubique de masse m = 60 kg est maintenu immobile sur un plan incliné de a = 20° sur l’horizontale grâce à une corde qui exerce une force parallèle à la ligne de plus grande pente du plan incliné. La direction de cette corde passe par le centre du solide cubique S.

Le plan incliné exerce sur le solide S une force perpendiculaire à la surface de contact.

Calculer, dans la base orthonormée , les coordonnées et les normes des trois vecteurs forces ( poids ), ( action normale de la piste sur le solide ) et .

L'intensité de la pesanteur est g = 9,8 N / kg.

 
Solution :

(11)

 

· Référentiel d’étude : le solide Terre considéré comme étant un référentiel Galiléen. On lui associe le repère orthonormé ( O, ).

· Système étudié : le solide S au repos par rapport à la Terre.

· Forces appliquées sur le solide S :

- le poids (essentiellement action de la Terre sur le solide S) .

- la force (action normale de la piste sur le solide S).

- la force (action de la corde sur le solide S)

· Enonçons la réciproque du principe de l’inertie (à revoir) :

Si, dans un référentiel Galiléen, le centre d’inertie d'un système est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à ce système est nulle.

Ici, dans le référentiel terrestre Galiléen, le solide est au repos. La somme vectorielle des forces agissant sur lui est donc égale au vecteur nul :

(12)

Projetons cette relation sur les axes :

    Px + Rx + Fx = 0 (13)

    Py + Ry + Fy = 0 (14)

 

(16)

 

    (17)

 

4- DERIVEES (étudiées en cours d'année)

 

Fonctions (20)

Dérivées premières (21)

Dérivées secondes (22)

y = at3+bt2+ct+d

dy / dt = 3at2+2bt+c

d²y / dt² = 6at+2b

y = cos t

dy / dt = - sin t

d²y / dt² = - cos t

y = sin t

dy / dt = cos t

d²y / dt² = - sin t

y = a.cos ( w t + f )

dy / dt = - a.w .sin ( w t + f )

d²y / dt² = - a.w ².cos ( w t + f )

y = a.sin ( w t + f )

dy / dt = a.w .cos ( w t + f )

d²y / dt² = - a.w ².sin ( w t + f )

 

5- DIVERS


·
Longueur d'un arc de cercle. Dénivellation

 

(23)

- Dénivellation entre A et B :

La figure ci-dessus montre que :

cos q = CO / OB = CO / R qui s'écrit : CO = R.cos q (24)

La dénivellation entre les ponts A et B est :

h = AC = AO - CO = R - R.cos q = R ( 1 - cos q ) (25)

- Longueur de l'arc de cercle :

= s = R q ( q en radian, s et R en mètre ) (26)

· Propriété de la tangente à une parabole (étudiée en cours d'année)

La tangente à la parabole y = a x ² au point M coupe l'axe horizontal au point I d'abscisse :

x I = x M / 2 (27)

OI = OH / 2 soit x I = x M / 2 (28)


· Translation rectiligne et rotation

(29)

- Rotation de la poulie et déplacement du solide S.

Lorsque la poulie tourne d'un angle q autour de l'axe fixe par rapport à la terre, le solide S descend du point O au point M, avec :

x = OM = R q (30)

x et R s'expriment en mètre. L'angle q s'exprime en radian.

- Vitesse angulaire de la poulie et vitesse du solide S

La poulie a une vitesse angulaire :

w = dq / dt (31)

Le solide S possède, lui, une vitesse V obtenue en calculant la dérivée de x par rapport à t :

V = dx / dt = R dq / dt

V = R w (32)

La vitesse V du solide s'exprime en m / s alors que la vitesse angulaire w de la poulie s'exprime en rad / s.

 

A VOIR :

Exercice 1-A : Connaissances du cours n° 1.

Exercice 1-B : Traction d'un skieur.

Exercices 1-C (à résoudre) : Critiques de relations vectorielles - Mouvement d'un skieur.

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