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COMPORTEMENT GLOBAL D'UN CIRCUIT ELECTRIQUE EN COURANT CONTINU - Leçon n° 10

 

 Cette leçon comporte six paragraphes.

 

1- TRANSFERT D'ENERGIE DANS UN CIRCUIT SERIE. LOI DES TENSIONS


Considérons le circuit suivant dans lequel tous les éléments en série sont parcourus par le même courant électrique.

 

 

Pendant la durée de temps Dt, le générateur PN donne aux autre éléments du circuit une énergie électrique, comptée positivement :

Wdonnée par le générateur = UPN . INP . D t (1)

Posons I = IPA = IAB = IBN = INP

Wdonnée par le générateur = UPN . I . D t (2)

Les trois récepteurs (moteur, lampe, conducteur ohmique) reçoivent une énergie électrique :

Wreçue (moteur, lampe, conducteur ohmique) = WPA + WAB + WBN

Wreçue (moteur, lampe, conducteur ohmique) = UPA . IPA . D t + UAB . IAB . D t + UBN . IBN . D t

Wreçue (moteur, lampe, conducteur ohmique) = UPA . I . D t + UAB . I . D t + UBN . I . D t (3)

La loi de conservation de l'énergie impose :

Wdonnée par le générateur = Wreçue (moteur, lampe, conducteur ohmique) (4)

UPN . I . D t = UPA . I . D t + UAB . I . D t + UBN . I . D t

Ou, en simplifiant :

UPN = UPA + UAB + UBN (5)

Cette loi peut encore s'inscrire :

0 = UPA + UAB + UBN - UPN

0 = UPA + UAB + UBN + UNP (6)

Loi d'additivité des tensions : UPN = UPA + UAB + UBN (5)

Loi d'additivité des tensions : UPA + UAB + UBN + UNP = 0 (6) (maille PABNP)

Remarque : La tension décroît régulièrement entre les points P, A, B, N mais l'intensité du courant électrique reste la même. Il y a une certaine analogie avec un ruisseau dont l'altitude décroît régulièrement alors que le débit d'eau peut rester le même.

 

2- TRANSFERT D'ENERGIE DANS UN CIRCUIT AVEC DERIVATION. LOI DES INTENSITES


Considérons le circuit suivant dans lequel tous les éléments en dérivation sont soumis à la même tension.

Pendant la durée de temps Dt, le générateur PN donne aux autre éléments du circuit une énergie électrique, comptée positivement :

Wdonnée par le générateur = UPN . INP . D t = U . I1 . D t

Les deux récepteurs (moteur, lampe) reçoivent une énergie électrique :

Wreçue (moteur, lampe) = WAB + WCD

Wreçue (moteur, lampe) = UAB . IAB . D t + UCD . ICD . D t

Wreçue (moteur, lampe) = U . I2 . D t + U . I3 . D t

La loi de conservation de l'énergie impose :

Wdonnée par le générateur = Wreçue (moteur, lampe)

U . I1 . D t = U . I2 . D t + U . I3 . D t

Après simplification, il vient :

I1 = I2 + I3 (7)

Loi des intensités : La somme des intensités des courants qui arrivent en un nud est égale à la somme des intensités des courants qui en repartent.

Cette loi est généralisable à un nombre quelconque de fils arrivant en un nud . Elle s'applique également lorsqu'on utilise des intensités algébriques.

Exemples :

 

Remarque : Pour le circuit étudié comportant deux mailles, on peut écrire deux relations (8) et (9) indépendantes :

Loi des tensions pour la maille PNBAP :

UPN + UNB + UBA + UAP = 0 soit

UPN + 0 + UBA + 0 = 0 (8)

Loi des tensions pour la maille ABDCA :

UAB + UBD + UDC + UCA = 0 soit

UAN + 0 + UCD + 0 = 0 (9)

La relation obtenue en écrivant la loi des tensions pour la maille PNDCP ne serait qu'une combinaison des relations précédentes. Elle est aisée à écrire.

Dans la résolution d'un exercice, il est intéressant de "colorier" les appareils pour lesquels la tension est connue. Les tensions à calculer apparaissent alors clairement. On peut opérer de même, avec une autre couleur, pour les intensités des courants électriques.

 

3- ASSOCIATIONS DE CONDUCTEURS OHMIQUES


3.1 Résistance et conductance d'un conducteur ohmique.

Nous avons vu qu'un conducteur ohmique est caractérisé par sa conductance G ou sa résistance R = 1 / G (voir la leçon 9).

3.2 Additivité des résistances R pour des conducteurs ohmiques associés en série.

La loi d'additivité des tensions s'écrit :

UPC = UPA + UAB + UBC

UPC = R1.I + R2.I + R3.I

UPC = (R1 + R2 + R3) I (10)

Pour le circuit équivalent :

UPC = R e . I (11)

La comparaison des relations (10) et (11) donne :

R e = R1 + R2 + R3 (12)

Cela se généralise aisément :

Le conducteur ohmique équivalent à l'association en série de plusieurs conducteurs ohmiques a une résistance Re égale à la somme R1 + R2 + R3 + - - - des résistances de ces conducteurs ohmiques.

R e = R1 + R2 + R3 + - - - (13)

 
3.2 Additivité des conductances G pour des conducteurs ohmiques associés en parallèle.

La loi des intensités appliquée au nud A s'écrit :

I = I1 + I2 + I3 (14)

La loi d'Ohm permet d'écrire :

UAB = R1 . I1 soit I1 = (UAB/R1) (15)

UAB = R2 . I2 soit I2 = (UAB/R2) (16)

UAB = R3 . I3 soit I3 = (UAB/R3) (17)

Pour le circuit équivalent :

UAB = Re . I soit I = (UAB/Re) (18)

Portons les valeurs de I1, I2, I3 et I dans la relation (14) :

(UAB/Re) = (UAB/R1) + (UAB/R2) + (UAB/R3)

Après simplification, il vient :

(15)

Ou, en introduisant la conductance G = 1/ R :

Ge = G1 + G2 + G3 (16)

Cela se généralise aisément :

Le conducteur ohmique équivalent à l'association en parallèle de plusieurs conducteurs ohmiques a une conductance Ge égale à la somme G1 + G2 + G3 + - - - des conductances de ces conducteurs ohmiques.

Ge = G1 + G2 + G3 + - - - (17)

ou

1 / Re = 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3 + - - - (17 bis)


4- INTENSITE DU COURANT ELECTRIQUE DELIVRE PAR UN GENERATEUR DANS UN CIRCUIT RESISTIF


4-1 Circuit avec une seule maille.

On considère le circuit ABNPA.

On peut décomposer le générateur PN en deux dipôles PM, de f.e.m. E et MN, de résistance r. On obtient le circuit ABNMPA.

 

La loi des tensions (maille ABNMPA) s'écrit :

UAB + UBN + UNM + UMP + UPA = 0

R2 . I + R3 . I + r . I - E + R1 . I = 0

I = E / (r + R1 + R2 + R3)

Posons :

Re = (r + R1 + R2 + R3) (18)

Alors :

I = E / Re (19)

Remarque : On peut regrouper les résistances. On obtient alors le circuit simplifié ne comportant plus que le générateur de tension PM de f.e.m. E et un dipôle de résistance Re.

4-2 Circuit avec dérivation.

On considère le circuit suivant. Le générateur a une f.e.m. E = 10 V et une résistance interne r = 2 W. Calculons l'intensité du courant électrique qu'il débite sachant que R1 = 30 W, R2 = 20 W et R3= 15 W

 

Les deux conducteurs ohmiques de résistances R1 = 30 W et R2 = 20 W peuvent être remplacés par un conducteur ohmique R12 tel que :

1 / R12 = 1 / R1 + 1 / R2 (20)

1 / R12 = 1 / 30 + 1 / 20

1 / R12 = 2 / 60 + 3 / 60

1 / R12 = 5 / 60

R12 = 60 / 5

R12 = 12 W (21)

- On peut décomposer le générateur PN en deux dipôles PM, de f.e.m. E et MN, de résistance r. On obtient le circuit ANMPA.

- On peut regrouper les résistances en une résistance équivalente Re telle que :

Re = r + R12 + R3 (22)

Re = 2 + 12 + 15

Re = 29 W (23)

On obtient le circuit PBMP.  

La loi des tensions (maille PBMP) s'écrit :

UPB + UBM + UMP = 0

Re . I + 0 - E = 0

I = E / Re (24)

I = 10 / 29

I = 0,345 A (25)

Remarque :

- On peut également calculer UPA = R12 . I = 12 (10 / 29) = 4,14 V (26)

- On en déduit les intensités I1 et I2 des courants électriques traversant les conducteurs ohmiques de résistance R1 et R2.

I1 = UPA / R1 = 4,14 / 30 = 0,138 A (27)

I2 = UPA / R2 = 4,14 / 20 = 0,207 A (28)

- On vérifie la loi des intensités :

I = I1 + I2 soit 0,345 = 0,138 + 0,207 (29)


5- EXERCICE : Puissance maximale disponible aux bornes d'une alimentation stabilisée en tension


Enoncé :
Une alimentation stabilisée en tension porte les indications E = 6,0 V, Pmax = 30 W.


a- Calculer l'intensité maximale Imax du courant électrique qu'elle peut délivrer.

b- Calculer la valeur minimale Rmin de la résistance d'un conducteur ohmique pouvant être branchée entre ses bornes.


Solution :


a-
Cette alimentation stabilisée maintient une tension de 6,0 V entre ses bornes tant que l'intensité du courant qu'elle débite n'atteint pas la valeur Imax correspondant à la puissance maximale disponible à ses bornes Pmax = 30 W.

Pmax = E . Imax (30)

On calcule :

Imax = Pmax / Imax = 30 / 6

Imax = 5,0 A (31)

b- A tension constante E = 6,0 V, l'intensité du courant délivrée par le générateur est d'autant plus grande que la résistance du conducteur ohmique branché entre ses bornes est plus petite.

L'intensité du courant électrique ne devant pas dépasser Imax = 5,0 A, la résistance du conducteur ohmique branché entre les bornes de l'alimentation ne doit pas être inférieure à Rmin avec :

E = Rmin . Imax (32)

6,0 = Rmin . 5,0

On trouve :

Rmin = 1,2 W (33)

Remarque : Si la résistance branchée aux bornes de l'alimentation était inférieure à cette valeur, l'intensité du courant augmenterait mais on assisterait à une chute de la tension aux bornes de l'appareil. Cette alimentation est donc stabilisée en tension (E = 6,0 V) tant que l'intensité du courant délivrée reste dans la plage 0 - 5,0 A.

 

6- EXERCICE : Puissance maximale tolérée par un conducteur ohmique.


Enoncé :

Un conducteur ohmique (résistance radio de valeur R = 15 W avec une tolérance de 5 %) est tel que la puissance maximale avec laquelle l'énergie peut être dissipée par effet joule est Pmax = 0,50 W.

Calculer l'intensité Imax du courant électrique que peut théoriquement supporter ce conducteur ohmique ?


Solution :

La tension maximale Umax que l'on peut appliquer aux bornes de ce conducteur ohmique est telle que :

Umax = R . Imax (34)

On en déduit la puissance maximale Pmax avec laquelle l'énergie peut être dissipée sous forme calorifique par ce conducteur :

Pmax = Umax . Imax (35)

Pmax = R . Imax . Imax

Pmax = R . I ²max (36)

On en déduit :

I ²max = Pmax / R

I ²max = 0,50 / 15 = 0,0333 A²

Imax = 0,183 A = 183 mA (37)

Si l'intensité du courant dépasse cette valeur, l'échauffement devient important, il y a risque de détérioration.

Cette intensité maximale, pour un matériau donné, est d'autant plus grande que le diamètre du conducteur est plus grand.

Remarque : La tolérance de 5 % indique que le fabricant ne peut pas assurer que la résistance de ce conducteur ohmique vaut exactement 15 W mais qu'il y a de grandes chances que cette valeur soit comprise entre :

15 + (5/100).15 et 15 - (5/100).15

15,75 et 14,25 soit entre

15,8 W et 14,2 W (37).

 

A VOIR :

Connaissances du cours de Physique 10

Problème résolu n° 10-A :

Problème n° 10-B (à résoudre) :

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