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PROBLEME RESOLU n° 1 A : Techniques mathématiques

 
ENONCE :
 
 


Un skieur de masse m = 80 kg est tracté,
à vitesse constante, sur la piste représentée ci dessous, par une perche qui exerce une force d’intensité 600 N. L’action totale de la piste sur le skieur est représentée par la force .

On donne :

 

a = 20°

 

b = 60°

 

g = 9,8 N / kg

 

OA = 300 m

 

· 1 - Calculer la dénivellation h = BA entre les points B et A. (c)


· 2
- Connaissant l'angle orienté = + 90° = + p /2 rad, calculer les angles orientés : (c)

· 3 - Calculer les valeurs numériques des coordonnées des forces et dans la base . (c)


· 4
- Cette base est associée au référentiel terrestre supposé Galiléen.

- Enoncer le principe de l’inertie. (voir la leçon 1)

- Calculer les coordonnées de la force . Que vaut la force de frottement due aux aspérités de la piste et des skis ?

- Calculer la valeur des angles et . (c)


·
5
- (facultatif) Calculer les produits scalaires . puis .et enfin .. (c)

 

SOLUTION :


· 1 -
(e) Calculons la dénivellation h = BA entre les points B et A. Elle est égale à la dénivellation entre les points O et A.

 

On a sin a = BA / OA .

On en déduit la dénivellation entre O et A soit :

BA = h = OA.sin a = 300 ´ sin (20°) = 103 m.


·
2
- (e) Calcul d'angles orientés.

Le sens positif est celui qui amène sur après une rotation de + 90° = + p / 2 rad :

= + 90° = + p / 2 rad

Afin de lire plus facilement la valeur des angles, il est souhaitable de tracer les forces à partir du point O :

= - 20° - 90° = - 110°

= 70° + 90° = 160°

= 60°

= - 30°

· 3 - (e) Calculons numériquement les coordonnées des forces et dans la base représentée sur le schéma.


· 4
- (e) Déterminons la force (action totale de la piste sur le skieur).

Référentiel d'étude : le solide Terre. On lui associe le repère orthonormé ( O, ).

Système étudié : le skieur.

Le mobile est soumis à 3 forces :

- Le poids (essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le skieur)

- La force (action totale de la piste sur le skieur )

- La force (action de la perche sur le skieur)

Enonçons le principe de l’inertie, étudié en classe de seconde :

Pour un observateur terrestre, tout corps persévère dans son état de repos, ou de mouvement rectiligne uniforme, si les forces qui s'exercent sur lui se compensent (voir la leçon 1).

Ici, pour un observateur terrestre, le skieur gravit la piste rectiligne à vitesse constante. On peut donc écrire :

- Projetons cette relation sur les axes :

Px + Fx + Rx = 0 ® - 268,1 + 300 + Rx = 0 ® Rx = - 31,9 N.

Py + Fy + Ry = 0 ® - 736,7 + 519,6 + Ry = 0 ® Ry = 217,1 N.

On en déduit :

- L’action totale de la piste se décompose en , action normale de la neige sur le skieur et en action tangentielle de la neige sur le skieur (force de frottement) avec :

(voir le schéma)

De plus :

Rn = Ry = 217,1 N

R t = Rx = - 31,9 N (force de frottement)

- Calculons les angles demandés : 

Rx = ´ cos soit numériquement :

- 31,9 = 219,4 ´ cos ou encore :

cos = - 0,145 ce qui donne :

= 98,35°

On en déduit :

= 8,35° (voir le schéma)


· 5
- (e) (facultatif) Calculons les produits scalaires :

. = .. cos (, ) = 784 ´ 300 ´ cos ( + 110° ) = - 80443 N.m ou J

. = .. cos (, ) = 600 ´ 300 ´ cos ( + 60° ) = + 90000 J

. = .. cos (, ) = 219,42 ´ 300 ´ cos ( - 98,35° ) = - 9567 J

 

A VOIR :

Connaissances du cours de Physique 1

Problème résolu n° 1 A ci-dessus : techniques mathématiques utilisées en physique

Problème n° 1-B (à résoudre) : techniques mathématiques

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