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RAPPELS DE MATHEMATIQUES - Leçon n° 1

 

1- TRIGONOMETRIE


· Définition des lignes trigonométriques

- Considérons le triangle ABC rectangle en B. Désignons par a la mesure de l'angle de sommet A.

 

AC est l'hypothénuse. AB est le coté adjacent à l'angle a. BC est le coté opposé à l'angle a.

- Le cosinus, le sinus et le tangente de l'angle a sont définis par :

- Aide-mémoire :

Cah Soh Toa

CahCos a = adjacent / hypothénuse

SohSin a = opposé / hpothénuse

ToaTan a = opposé / adjacent

· On définit de la même façon cos b, sin b, tan b, b étant la mesure de l'angle de sommet C :

 

· Le théorème de Pythagore s'écrit : AC2 = AB2 + BC2

· cos ( 90 - a ) = sin a sin ( 90 - a ) = cos a


2- PRODUIT SCALAIRE . DE DEUX VECTEURS


Définition : . = . cos (, ). On obtient un scalaire.

Propriété : On montre que l'on a aussi . = Fx Lx + Fy Ly

 

3- COORDONNEES D’UN VECTEUR DANS UNE BASE ORTHONORMEE

 
3-1 COORDONNEES

 

3-2 EXERCICE :  Equilibre d'un solide sur un plan incliné.

Enoncé :

Un solide homogène cubique de masse m = 60 kg est maintenu immobile sur un plan incliné de a = 20° sur l’horizontale grâce à une corde qui exerce une force parallèle à la ligne de plus grande pente du plan incliné. La direction de cette corde passe par le centre du solide cubique S.

Le plan incliné exerce sur le solide S une force perpendiculaire à la surface de contact.

Calculer, dans la base orthonormée , les coordonnées et les normes des trois vecteurs forces ( poids ), ( action normale de la piste sur le solide ) et .

L'intensité de la pesanteur est g = 9,8 N / kg.

 
Solution :

 

· Référentiel d’étude : le solide Terre.

· Système étudié : le solide S au repos par rapport à la Terre.

· Forces appliquées sur le solide S :

- le poids (essentiellement action de la Terre sur le solide S) .

- la force (action normale de la piste sur le solide S).

- la force (action de la corde sur le solide S)

· Enonçons le principe de l’inertie, étudié en classe de seconde :

Pour un observateur terrestre, tout corps persévère dans son état de repos, ou de mouvement rectiligne uniforme, si les forces qui s'exercent sur lui se compensent. Cet énoncé sera revu et précisé plus loin (voir la leçon 5).

Ici, pour un observateur terrestre, le solide est au repos. La somme des forces agissant sur lui est donc nulle :

Projetons cette relation sur les axes :

= 588 N

= 201 N

= 553 N

 

4- DERIVEES (étudiées en cours d'année)

 

Fonctions

Dérivées premières

Dérivées secondes

y = at3+bt2+ct+d

dy / dt = 3at2+2bt+c

d²y / dt² = 6at+2b

y = cos t

dy / dt = - sin t

d²y / dt² = - cos t

y = sin t

dy / dt = cos t

d²y / dt² = - sin t

y = a.cos ( w t + f )

dy / dt = - a.w .sin ( w t + f )

d²y / dt² = - a.w ².cos ( w t + f )

y = a.sin ( w t + f )

dy / dt = a.w .cos ( w t + f )

d²y / dt² = - a.w ².sin ( w t + f )

 

5- DIVERS


·
Longueur d'un arc de cercle. Dénivellation

 

- Dénivellation entre A et B :

La figure ci-dessus montre que :

cos q = CO / OB = CO / R qui s'écrit : CO = R.cos q

La dénivellation entre les ponts A et B est :

h = AC = AO - CO = R - R.cos q = R ( 1 - cos q )

- Longueur de l'arc de cercle :

= s = R q ( q en radian, s et R en mètre )

· Propriété de la tangente à une parabole (étudiée en cours d'année)

La tangente à la parabole y = a x ² au point M coupe l'axe horizontal au point I d'abscisse :

x I = x M / 2

OI = OH / 2 soit x I = x M / 2


· Translation rectiligne et rotation

- Rotation de la poulie et déplacement du solide S.

Lorsque la poulie tourne d'un angle q autour de l'axe fixe par rapport à la terre, le solide S descend du point O au point M, avec :

x = OM = R q

x et R s'expriment en mètre. L'angle q s'exprime en radian.

- Vitesse angulaire de la poulie et vitesse du solide S (étudié à la leçon 3)

La poulie a une vitesse angulaire :

w = dq / dt

Le solide S possède, lui, une vitesse V obtenue en calculant la dérivée de x par rapport à t :

V = dx / dt = R dq / dt

V = R w

La vitesse V du solide s'exprime en m / s alors que la vitesse angulaire w de la poulie s'exprime en rad / s.

 

A VOIR :

Connaissances du cours de Physique 1

Problème résolu n° 1-A : techniques mathématiques utilisées en physique

Problème n° 1-B (à résoudre) : techniques mathématiques

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