1° S - Retour Sommaire - Informations

(Pensez à utiliser la commande "Précédente" du menu ci-dessus et la touche F 11 du clavier)

   

MOUVEMENT D'UN SOLIDE INDEFORMABLE - Leçon n° 3

 

Cette leçon comporte quatre paragraphes.


1- VECTEUR VITESSE D'UN POINT DU SOLIDE.


1-1 Notion de référentiel.

· Considérons une mouche, assimilable à un point, qui reste "collée" au plafond d'une voiture qui avance sur une route rectiligne horizontale à la vitesse constante V = 20 m/s.

- La trajectoire de la mouche par rapport au solide Terre est une droite. Par rapport à la Terre, le vecteur vitesse de la mouche est constant, sa norme a pour valeur V = 20 m/s.

- La trajectoire de la mouche par rapport au solide voiture est un point immobile. Par rapport au solide voiture la vitesse de la mouche est V' = 0 m/s puisqu'elle reste "collée" au plafond.

Cet exemple montre qu'il faut toujours préciser le référentiel par rapport auquel on étudie le mouvement d'un mobile.

Remarque : Si la mouche se met à voler dans la voiture son mouvement par rapport au référentiel "Terre" sera très différent de son mouvement par rapport au référentiel "voiture".

· Un référentiel est un solide. Il est déterminé par la donnée de quatre points non coplanaires. On prend souvent comme référentiel le solide Terre.

On peut également être amené à prendre un "solide" moins concret :

- Le référentiel Géocentrique (solide formé par le centre de la Terre et trois étoiles ponctuelles, les 4 points n'étant pas dans un même plan) est utilisé pour étudier le mouvement des satellites terrestres.

- Le référentiel Héliocentrique (solide formé par les centres du soleil et de trois autres étoiles, les 4 points n'étant pas coplanaires) est utilisé pour étudier les voyages interplanétaires (Terre ® Mars par exemple) ou pour étudier le mouvement des planètes autour du Soleil.

Dans les exercices de la classe de première S, on utilise souvent le référentiel terrestre.

· Dans un référentiel il est possible de tracer une infinité de repères orthonormés différents . On choisit celui qui est le mieux adapté au problème posé.

L'étude du mouvement d'un mobile nécessite non seulement le choix d'un référentiel auquel on associe un repère mais encore le choix d'une horloge permettant de mesurer le temps.

 
1-2 Vitesse moyenne d'un point

Si, dans le référentiel terrestre, un point P parcourt une distance Dl pendant une durée Dt, alors la valeur absolue de la vitesse moyenne est :

½ Vmoyenne ½ = ½ Dl / Dt ½ (1) (en m / s)

1-3 Vitesse instantanée d'un point

La vitesse peut souvent varier à chaque instant.

On évalue la valeur absolue de la vitesse instantanée d'un point P à la date t2 en calculant la vitesse moyenne de ce point entre deux dates t1 et t3, aussi proches que possibles, encadrant la date t2 :

½ V (t2) ½ = ½ P3P1 / (t3 - t1) ½ (2) (en m / s)

1-4 Vecteur vitesse instantanée d'un point

A la vitesse instantanée d'un point définie ci-dessus on associe un vecteur de la façon suivante :

- le point d'application de est le point P où se trouve le point étudié à cet instant.

- la direction de est celle de la tangente en P à la trajectoire suivie par le point étudié.

- le sens de est celui du mouvement.

- la longueur de représente, à une échelle donnée, la valeur absolue de la vitesse à cet instant.

Remarque : Pendant une durée de temps dt très petite le point se déplace très peu sur la trajectoire supposée curviligne. Ce déplacement très petit est assimilable à un déplacement rectiligne représentée par le vecteur .

On peut écrire que = est le vecteur vitesse instantanée du point mobile.

1-5 Exercice : Détermination du vecteur vitesse instantanée d'un point.

Enoncé

Un palet plat cylindrique homogène est mis en mouvement, sans frottement, sur une table à coussin d'air inclinée d'un angle a sur le plan horizontal.

A l'instant t = 0, le palet est lancé vers le haut, dans le plan de la table ; son centre G est alors en O, origine du repère cartésien (O, ), tel que Ox soit horizontal et Oy parallèle aux lignes de plus grande pente du plan incliné. Le vecteur vitesse du point G à cet instant t = 0 est tel que l'angle ( , ) soit compris entre O et p / 2 radian.

 

Figure 1

Le centre G du palet décrit une parabole. A l'aide d'un dispositif approprié on a enregistré les positions du centre G à des intervalles de temps réguliers de durée t = 60 ms (figure 2 ci-dessous).

La première position sur le document correspond au point O (t = 0), la dernière au point O´ (t = 18 ´ t = 1080 s).

Figure 2

· a- Déterminer les mesures V3 et V5 des vecteurs vitesse instantanée du centre d'inertie du palet aux points G3 et G5.

On assimilera la vitesse instantanée au point G3 à la vitesse moyenne entre les points G2 et G4. (c)

· b- Construire les vecteurs et . (c)

Indiquer l'échelle sur le schéma.

 
Solution

 Les valeurs instantanées des vitesses sont assimilées aux valeurs moyennes sur une durée Dt = 2t.

· a- (e) Déterminons les normes V3 et V5 des vecteurs vitesse instantanée et du centre d'inertie du palet aux points G3 et G5 . Les vitesses instantanées en G3 et en G5 sont respectivement assimilées aux vecteurs :

(1) (2)

- L'énoncé donne t = 60 ms

- Sur le document, nous mesurons, compte tenu de l'échelle de reproduction :

G2 G4 = 4,20 ´ 10 - 2 m

G4 G6 = 3,45 ´ 10 - 2 m

- Les équations (1) et (2) permettent de calculer les normes suivantes :

(3) V3 = = 0,35 m/s et V5 = = 0,29 m/s (4)

· b- (e) La construction demandée est faite sur la figure 3 ci-dessous (les échelles sont indiquées sur la figure. L'échelle des distances est agrandie par rapport à celle de la figure précédente).

Figure 3

Les vecteurs vitesses sont tangents à la trajectoire décrite par le point G.

 

2- CENTRE D'INERTIE D'UN SOLIDE


Connaître le mouvement d'un solide, c'est connaître le mouvement de chacun de ses points.

L'étude, dans le référentiel terrestre, du mouvement d'un solide lancé puis soumis à la seule action de son poids montre que les mouvements des points constituants le solide sont complexes. Un seul point a un mouvement plus simple que les autres : le centre d'inertie G (en l'absence de frottement, ce point décrit une verticale ou une parabole).

Remarque :Tout système matériel est formé de particules quasi ponctuelles A1, A2, ... de masse m1, m2, ...

- Le centre d'inertie de ce système coïncide avec le barycentre G défini par :

(1)

- O étant un point quelconque (généralement origine dun repère) on peut montrer que :

(2)

 Cas particuliers :

- Pour un disque homogène le centre d'inertie G coïncide avec le centre du disque.

- Pour tout solide homogène possédant un centre de symétrie, le centre de symétrie coïncide avec le centre d'inertie de ce solide. 


3- MOUVEMENT DE TRANSLATION D'UN SOLIDE


3-1 Définition

Un solide est en mouvement de translation lorsqu'un segment quelconque de ce solide reste parallèle à lui-même au cours du déplacement.

Tous les points du solide ont, à chaque instant, le même vecteur vitesse (t). C'est le vecteur vitesse du solide en translation.


3-2 cas particulier : mouvement de translation rectiligne

Les divers points du solide en translation rectiligne décrivent des droites.

Exemple : luge descendant une piste rectiligne

Remarque : Si le vecteur vitesse (t) est constant au cours du temps alors le solide est animé d'un mouvement de translation rectiligne uniforme.


3-3 Mouvement de translation curviligne

Les divers points du solide en translation curviligne décrivent des courbes superposables.

Exemple : cabine de téléphérique


4- MOUVEMENT DE ROTATION D'UN SOLIDE AUTOUR D'UN AXE FIXE


4-1 Vitesse angulaire de rotation d'un solide autour d'un axe fixe

Considérons une poulie en rotation autour d'un axe (D) fixe dans le référentiel terrestre.

Si pendant la durée de temps dt la poulie tourne d'un angle da alors la vitesse angulaire de la poulie est :

w = da / dt

avec, dans le système international d'unités, dt en seconde (s), da en radian (rad) , w en radian par seconde (rad / s)

La vitesse d'un point (en m / s) dépend de sa distance à l'axe. Par contre la vitesse angulaire (en rad / s) est la même pour tous les points.


4-2 Orientation de l'axe et sens positif de rotation du solide

Dans certains exercices il peut être utile de lier le sens positif de rotation du solide au sens d'orientation de l'axe.

On utilise alors la règle de la main droite : Le pouce de la main droite est orienté dans le sens de l'axe, les autres doigts indiquent le sens positif de rotation du solide.

 

4-3 Exercice

Enoncé

Une poulie en rotation autour d'un axe fixe (C,D) est entraînée par la chute du solide S.

a- Calculer le déplacement x du solide lorsque la poulie a tourné d'un angle q.

b- Etablir la relation existant entre la vitesse du solide S et la vitesse angulaire de la poulie.

Solution

a- Calculons le déplacement x du solide lorsque la poulie a tourné d'un angle q.

Lorsque la poulie tourne d'un angle q autour de l'axe fixe par rapport à la terre, le solide S descend du point O au point M en parcourant la distance OM = , avec :

x = OM = longueur de l'arc de cercle AA' = R q

x et R s'expriment en mètre. L'angle q s'exprime en radian.

b- Etablissons la relation existant entre la vitesse du solide S et la vitesse angulaire de la poulie.

Pendant une petite durée dt la poulie tourne d'un angle petit dq et possède la vitesse angulaire :

w = dq / dt

Le solide S pendant la même durée dt a progressé de dx et possède une vitesse V définie par :

V = dx / dt

Mais :

x = = R q donne :

dx = R dq puis :

dx / dt = R dq / dt

Soit :

V = R w

La vitesse V du solide s'exprime en m / s alors que la vitesse angulaire w de la poulie s'exprime en rad / s.

 Remarque : En l'absence de frottement le solide accélère et la poulie tourne de plus en plus vite.

 

A VOIR :

Connaissances du cours de Physique 3

Problème résolu n° 3-A :

Problème n° 3-B (à résoudre) :

Retour Sommaire - Informations