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PROBLEME RESOLU n°5-A : Mouvement sur un plan incliné - Deuxième loi de Newton

 

ENONCE


L'étude est faite dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Un palet est mis en mouvement, sans frottement, sur une table à coussin d'air inclinée d'un angle a sur le plan horizontal.

A l'instant t = 0, le palet est lancé vers le haut, dans le plan de la table ; son centre d'inertie G est alors en O, origine du repère cartésien (O, ), tel que Ox soit horizontal et Oy parallèle aux lignes de plus grande pente du plan incliné. Le vecteur vitesse du point G à cet instant t = 0 est tel que l'angle ( , ) soit compris entre O et p/2 radian.

 

Figure 1

Le centre d'inertie du palet décrit une parabole. A l'aide d'un dispositif approprié on a enregistré les positions du centre d'inertie G à des intervalles de temps réguliers de durée t = 60 ms (figure 2 ci-dessous).

La première position sur le document correspond au point O (t = 0), la dernière au point O´ (t = 18 ´ t = 1080 s).

 

A- Exploitation du document.

 

Figure 2

· 1- Déterminer les mesures V3 et V5 des vecteurs vitesse instantanée du centre d'inertie du palet aux points G3 et G5.

On assimilera la vitesse instantanée au point G3 à la vitesse moyenne entre les points G2 et G4. (c)

· 2- Construire, avec l'origine au point G4 , les vecteurs et ( - ). (c)

Indiquer l'échelle sur le schéma.

· 3- Construire, avec l'origine au point G 4 , le vecteur et déterminer, à l'aide de l'échelle précédente, la mesure DV du vecteur . (c)

 

B- Deuxième loi de Newton

 

· 1- Faire le bilan des forces extérieures exercées sur le palet dans une position quelconque. Les représenter sur un schéma. (c)

· 2- Montrer que la résultante des forces est portée par le vecteur unitaire .

La deuxième loi de Newton est-elle satisfaite ?

On donne : g = 10 m / s 2

 
SOLUTION :


A-
Exploitation du document

Les valeurs instantanées des vitesses sont assimilées aux valeurs moyennes sur 2t.

· 1- (e) Déterminons les normes V3 et V5 des vecteurs vitesse instantanée et du centre d'inertie du palet aux points G3 et G5 . Les vitesses instantanées en G3 et en G5 sont respectivement assimilées aux vecteurs :

(1) (2)

- L'énoncé donne t = 60 ms

- Sur le document, nous mesurons, compte tenu de l'échelle de reproduction :

G2 G4 = 4,20 ´ 10 - 2 m

G4 G6 = 3,45 ´ 10 - 2 m

- Les équations (1) et (2) permettent de calculer les normes suivantes :

(3) V3 = 0,35 m/s et V5 = 0,29 m/s (4)

· 2- (e) Construisons, avec l'origine au point G4 , les vecteurs et ( - ).

La construction est faite sur la figure 3 ci-dessous (L'échelle, agrandie, est indiquée sur le schéma).

Figure 3

3. (e) La construction de = + ( - ) est également faite sur la figure 3 ci-dessus.

Nous constatons que est parallèle à et de sens opposé.

Sur la figure 3, nous mesurons que, compte tenu de l'échelle :

DV = = 0,090 m/s (5)

 

Figure 4

 

B- B- Deuxième loi de Newton


1.
(e) Faisons le bilan des forces extérieures exercées sur le palet.

Référentiel galiléen : le solide Terre

Système étudié : le palet.

Le palet est soumis à 2 forces :

- : essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le palet.

- : action de la piste sur le palet.

Comme les frottements sont supposés nuls, la force est perpendiculaire au plan incliné.

  

Figure 5

 · 2- (e) Montrons que la résultante des forces est portée par le vecteur unitaire .

+ = ( 0 - m g sin a - m g cos a ) + ( 0 - 0 - R )

+ = - m g sin a - ( m g cos a + R ) (6)

Mais le mobile ne se déplace que dans le plan (, ). Il n'y a pas de déplacement suivant l'axe ; cela implique que :

( m g cos a + R ) = 0 (7)

Finalement :

+ = - m g sin a (8)

Nous avons vu que est parallèle à et de sens opposé. Il en est de même pour la somme des forces extérieures + appliquée au mobile.

On vérifie la deuxième loi de Newton :

Dans un référentiel Galiléen, si le vecteur vitesse du centre d'inertie d'un solide varie, alors la somme = des forces extérieures appliquées à ce solide n'est pas nulle et réciproquement. La direction et le sens de cette somme sont ceux de la variation de entre deux instants proches.

La même étude pourrait être faite pour les autres points de l'enregistrement du mouvement du centre d'inertie.

 

A VOIR :

Connaissances du cours de Physique 5

Problème résolu n° 5-A ci-dessus : Mouvement curviligne

Problème n° 5-B (à résoudre) : Mouvement circulaire uniforme

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