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TRAVAIL D'UNE FORCE - Leçon n° 6

 

- Cette leçon comporte deux paragraphes.

- Des objets soumis à une force dont le point d'application se déplace peuvent :

- être mis en mouvement (chariot, wagon, brique glissant sur une table, etc.)

- changer d'altitude (valise que l'on monte au 3° étage d'un hôtel, pierre qui tombe, etc.)

- se déformer temporairement (ressort, élastique) ou définitivement (voiture lors d'un choc)

- voir leur température s'élever (patins d'un frein de bicyclette)

Dans tous ces cas on dit que la force fournit un travail. Cette grandeur, exprimée en joule, est définie plus précisément ci-dessous.

 

1- TRAVAIL D'UNE FORCE


1.1 Travail d'une force constante dont le point d'application suit un trajet rectiligne.

· Une force constante est représentée par un bi-point qui reste parallèle à lui même et qui conserve le même sens et la même valeur au cours du temps.

· Définition : Dans un référentiel donné, le travail d'une force constante dont le point d'application se déplace de A à B suivant une ligne droite est donné par :

WAB ( ) = . = . . cos ( , ) (1)

- Souvent, on pose :

= F

= AB

( , ) = a (en radian ou en degré)

Le travail de la force constante s'écrit alors :

WAB ( ) = . = F . AB . cos a (2)

Unités :

Force en newton ( N )

Déplacement en mètre (m)

Travail WAB en joule (J)

· Travail moteur, résistant ou nul :

- Le signe du travail WAB ( ) = . = F . AB . cos a est celui de cos a.

En effet = F et = AB sont positifs alors que la valeur de cos a est comprise entre - 1 et + 1.

- Si l' angle a = ( , ) est aigu alors cos a > 0 et WAB ( ) > 0. Le travail est moteur (voir l'exemple 1).

- Si l' angle a = ( , ) est obtus alors cos a < 0 et W AB ( ) < 0. Le travail est résistant (voir l'exemple 2).

- Si l' angle a = ( , ) est droit (a = 90° = p / 2 rad) alors cos a = 0 et W AB ( ) = 0 J. Le travail est nul.

Retenons qu'une force perpendiculaire à la trajectoire ne fournit aucun travail.  


1.2 Travail du poids

Dans un domaine de quelques centaines de mètres, on peut considérer que le poids d'un solide est constant.

Calculons le travail de pour un déplacement curviligne quelconque du centre de gravité G du solide partant du point A pour aboutir au point B.

Décomposons la trajectoire de A vers B en déplacements élémentaires rectilignes , , , etc. Ces déplacements rectiligne très courts permettent de décrire exactement le déplacement curviligne .

Le travail effectué par le poids entre les points extrêmes A et B est égal à la somme des travaux élémentaires :

WAB ( ) = dW1 + dW2 + dW3 + - - - = . + . + . + - - -

WAB ( ) = . ( + + + - - - ) (3)

Mais ( + + + - - - ) = . Portons dans (3) :

WAB ( ) = . (4)

Exprimons le produit scalaire . en fonction des coordonnées des deux vecteurs :

WAB ( ) = . = Px . ( xB - xA ) + Py . ( yB - yA ) + Pz . ( zB - zA ) (4 bis)

Les coordonnées des vecteurs et sont :

( 0, 0, - P ) et ( xB - xA, yB - yA, zB - zA ). Portons dans (4 bis) :

WAB ( ) = 0 . ( xB - xA ) + 0 . ( yB - yA ) - P . ( zB - zA ) (5)

On sait que P = m . g. Portons dans (5) :

WAB ( ) = - m . g . ( zB - zA ) ou encore :

WAB ( ) = m . g . ( zA - zB ) (6)

Le travail du poids d'un solide ne dépend que des altitudes des points de départ et d'arrivée de son centre de gravité. Il ne dépend pas du chemin suivi pour aller de A vers B.

Ce travail est positif (moteur) si le solide descend, négatif (résistant) si le solide monte, nul si les points A et B sont à la même altitude.

Remarque :

Appelons h la dénivellation entre A et B.

WAB ( ) = . = .. cos ( , ) = ± ½ m g h ½

Signe + si m descend (travail moteur) et signe - si m monte (travail résistant)


1.3 Cas général d'une force variable et d'un déplacement quelconque.

Lors du déplacement quelconque du point d'application d'une force variable, cette dernière peut être considérée comme restant pratiquement constante pour un déplacement élémentaire (entre deux points très voisins). Le travail effectué par la force entre les points extrêmes A et B est égal à la somme des travaux élémentaires :

WAB ( ) = dW1 + dW2 + dW3 + - - - = . + . + . + - - - (7)

Remarque : La relation (7) redonne la relation (1) si reste constant. En effet :

WAB ( ) = dW1 + dW2 + dW3 + - - = . + . + . + - - -

WAB ( ) = . + . + . + - - - = . ( + + + - - - )

WAB ( ) = . (8)

Le travail d'une force constante effectué entre deux points A et B est indépendant du chemin parcouru.


1.4 Solide en translation soumis à plusieurs forces constantes

Considérons un solide en translation sur lequel agissent plusieurs forces constantes , , . Comme le solide est en translation rectiligne ou curviligne, les points d'application de ces forces effectuent des déplacements semblables .

Le travail de la force constante suivant le trajet ne dépend que des positons initiale A et finale B :

W ( ) = WAB ( ) = .

De même :

W ( ) = .

W ( ) = .

Le travail total effectué par les forces est :

W ( ) + W ( ) + W ( ) = . + . + .

W ( ) + W ( ) + W ( ) = ( + + ). = . (9)

= + + (10) est la résultante des forces agissant sur le solide.

Pour un solide en translation, tous les points du solide ont même mouvement, la somme des travaux effectués par des forces extérieures constantes est alors égal au travail effectué par leur résultante.


1.5 Etude de quelques exemples.

· Exemple 1

Le mobile se déplace de A vers B

On donne = 60 N et = 5 m. On calcule :

W ( ) = .. cos 30°

W ( ) = 60 ´ 5 ´ 0,866

W ( ) = 260 J (11)

Le travail de est moteur, positif (angle aigu entre et )

cos 30° > 0
 

· Exemple 2

Le mobile se déplace de A vers B. Visiblement la force tente de s'opposer à ce déplacement.

On donne = 50 N et = 3 m. On calcule :

W ( ) = .. cos 120°

W ( ) = 50 ´ 3 ´ ( - 0,50 )

W ( ) = - 75 J (12)

Le travail de est résistant, négatif (angle obtus entre et )

cos 120° < 0

· Exemple 3 (voir le problème résolu n° 1 A)

Skieur tracté le long de la piste OA.

On donne a = 20°, b = 60°

· , force motrice, fournit un tavail W ( ) > 0. (13)

(angle aigu de 60° entre et )

· est, ici, résistant. Il fournit un travail W ( ) < 0. (14)

(angle obtus de 110° entre et )

· , force résistante, fournit un travail W ( ) < 0. (15)

(angle obtus entre et )

 

cos 60° > 0

cos 110° < 0

cos ( , ) < 0

II faut regarder l'angle formé par la force et le vecteur déplacement .

 

2- PUISSANCE AVEC LAQUELLE UN TRAVAIL EST EFFECTUE


Le travail fourni par une force peut être effectué en un temps plus ou moins long. Les physiciens ont été amenés à introduire une nouvelle grandeur : la puissance qui tient compte du temps mis pour effectuer ce travail.

2.1 Puissance moyenne avec laquelle un travail a été effectué

Quand, dans un référentiel donné, une force a effectué un travail WAB entre les instants tA et tB, la puissance moyenne avec laquelle ce travail a été effectué est :

pmoyenne = WAB / (tB - tA) (16)

Unités : travail W en joule (J) - date t en seconde (s) - puissance en watt (W).

2.2 Puissance instantanée

Pendant un intervalle de temps dt = tA - tB très court une force effectue un travail dW = . (17) très petit. On définit alors la puissance instantanée avec laquelle le travail s'effectue :

pinstantanée = dW / dt (18)

Portons (17) dans (18) :

pinstantanée = (19)

Mais = (20) est la vitesse instantanée du point d'application de la force. Portons dans (19) :

pinstantanée = = .

pinstantanée = . = F . V . cos ( , ) (21)

Unités : puissance en watt (W) - force F en newton (N) - vitesse V en m / s -

 

A VOIR :

Connaissances du cours de Physique 6

Problème résolu n° 6-A :

Problème n° 6-B (à résoudre) :

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