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PROBLEME RESOLU n° 7 A : Energie cinétique - Plan incliné (Bac 1997)

 
ENONCE

 
On se propose de mesurer l'intensité des actions de frottement qui agissent sur un mobile autoporteur en mouvement. Ces actions seront modélisées par une force constante, de sens opposé au vecteur vitesse. Ce mobile, de centre d'inertie G, de masse m, est abandonné sans vitesse sur une table à digitaliser, inclinée d'un angle
a par rapport à l'horizontale. Au cours de son mouvement, le mobile suit la ligne de plus grande pente de direction Ox, la position de G est repérée en fonction du temps par sa coordonnée x dans le repère (O, ), et transmise à un ordinateur.

Dispositif expérimental

 Données : m = 220 g, a = 15°, g = 9,8 m / s 2 .

Les valeurs de x, aux dates des relevés, figurent dans le tableau ci-après, accompagnées du résultat du calcul de la plupart des vitesses instantanées et énergies cinétiques Ec du mobile en translation.

 

· 1- Calculer les valeurs de la vitesse v et de l'énergie cinétique Ec du mobile à la date t = 0,0414 s. (c)


·
2-
Etablir l'inventaire des forces s'exerçant sur le mobile et les représenter sur un schéma. (c)


·
3-
On appelle A et B les positions respectives occupées par le mobile aux dates t = 0 et t quelconque.

En utilisant le théorème de l'énergie cinétique entre A et B, distants de L, exprimer Ec (B) en fonction de Ec (A), m, L, a et de l'intensité de la force de frottement . (c)


·
4-
Détermination de l'intensité de la force de frottement.

a- A partir des valeurs portées dans le tableau, représenter Ec (B) en fonction de L sur papier millimétré.

On prendra 1 cm ® 10 - 2 m et 1 cm ® 10 - 2 J .(c)

b- Déterminer l'équation de cette courbe. (c)

c- En déduire l'intensité de la force de frottement qui agit sur le mobile et l'énergie cinétique du mobile à la date t = 0. (c)


SOLUTION :


· 1-
(e) Calculons les valeurs de v et Ec à la date t = 0,0414 s.

- On assimile la vitesse instantanée à la date t = 0,0414 s à la vitesse moyenne entre les dates voisines 0,0277 s et 0,0551 s. On écrit :

V(0,0414) = (0,03778 - 0,0188) / (0,0551 - 0,0277)

V(0,0414) = 0,693 m/s (1)

- L'énergie cinétique du mobile en translation est :

Ec(0,0414) = 1/2 m v² = 1/2 ´ 0,22 ´ 0,693²

Ec(0,0414) = 0,0528 J (2)

· 2- (e) Etablissons l'inventaire des forces s'exerçant sur le mobile et représentons ces forces sur un schéma.

Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Système étudié : le mobile autoporteur.

Forces appliquées sur le mobile :

- Action normale du plan incliné sur le mobile :

- Poids (essentiellement action de la Terre sur le mobile) :

- Force de frottement tangentielle : (cette action est due à un contact légèrement rugueux entre la table et le mobile)

 

· 3- (e) Exprimons Ec (B) en fonction de Ec (A), m, L, a et de l'intensité de la force de frottement .

Appliquons le théorème de l'énergie cinétique (voir la leçon 7) au mobile se déplaçant de A en B.

Théorème : Dans un référentiel Galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un solide, entre deux instants t initial et t final, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants :

Ec (B) - Ec (A) = W( ) + W( ) + W( ) (3)

Calculons les travaux de ces trois forces (les lettres P, f , R désignent les normes positives des vecteurs correspondants) :

W( ) = . = P ´ AB ´ cos (90° - a) = m ´ g ´ AB ´ cos (90° - a) = m ´ g ´ L ´ sin (a)

W( ) = . = f ´ AB ´ cos (180°) = - f ´ L

W( ) = . = 0 Joule car est perpendiculaire au déplacement AB.

Portons dans l'équation (3). On obtient :

Ec (B) - Ec (A) = m ´ g ´ L ´ sin (a) - f ´ L + 0 soit :

Ec (B) = Ec (A) + m ´ g ´ L ´ sin (a) - f ´ L

Ec (B) = Ec (A) + [ m ´ g ´ sin (a) - f ] ´ L (4)

· 4- Déterminons l'intensité de la force de frottement.


a-
(e) Représentons Ec (B) en fonction de L.

 

On obtient des points alignés se trouvant sur une droite dont l'équation est de la forme :

y = k x + b

En fait, ici, on doit écrire :

Ec (B) = k L + Eo (5)

b- (e) Déterminons les constantes k (coefficient directeur) et Eo (ordonnée à l'origine) figurant dans l'équation (5) :

Sur le graphe tracé ci-dessus on trouve :

k = 0,524 J/m

Eo = 0,039 J

Portons dans le relation (5) :

Ec (B) = 0,524 L + 0,039 (5 bis)

c- (e) Reprenons les équations (4) et (5bis) ci-dessus :

Ec (B) = [ m ´ g ´ sin (a) - f ] ´ L + Ec (A) (4)

Ec (B) = 0,524 L + 0,039 (5 bis)

Egalons les expressions (4) et (5 bis) de Ec (B) :

[ m ´ g ´ sin (a) - f ] ´ L + Ec (A) = 0,524 L + 0,039

On en déduit, en égalant les coefficients de L et les deux termes constants :

m ´ g ´ sin (a) - f = 0,524 (6)

Ec (A) = 0,039 J (7)

Les équations (6) et (7) donnent :

f = m ´ g ´ sin (a) - 0,524 = 0,220 ´ 9,8 ´ sin (15°) - 0,524 (6 bis)

Ec (A) = 0,039 J (7 bis)

f = 0,0039 N (6 ter) - f est l'intensité de la force de frottement qui agit sur le mobile.

Ec (A) = 0,039 J = Eo (7 ter) - Ec (A) est l'énergie cinétique du mobile à son passage par A, à la date t = 0 s.

 

A VOIR :

Connaissances du cours de Physique 7

Problème résolu n° 7-A ci-dessus : Energie cinétique - Plan incliné (Bac 1997)

Problème n° 7-B (à résoudre) : Mouvement d'une pierre lancée verticalement

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