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SATELLITES A ORBITES CIRCULAIRES - leçon n° 10

 

Cette leçon est traitée sous forme de problème résolu.

 

RAPPELS :

Dans la base de Frenet : (revoir la leçon 5)

Force gravitationnelle de Newton : F = m . g = G m M / r ² ® g = G M / r ² (revoir la leçon 2)


ENONCE : La lune. Troisième loi de Képler


On admet que la lune décrit une trajectoire circulaire de rayon r = 384000 km autour de la terre.

La terre est assimilée à une sphère de masse M = 6,0 ´ 10 24 kg et de rayon R = 6400 km.


·
1 Définir le référentiel géocentrique. (c)


·
2
Calculer, dans le référentiel ci-dessus, la vitesse v de la lune et sa période de révolution T.

Constante de gravitation universelle :

G = 6,67 ´ 10 - 11 m 3 . kg - 1 . s - 2 = 6,67 ´ 10 - 11 S.I. (Système international d'unités) (c)


·
3
Etablir la troisième loi de Képler T2 / r3 = 4.p ² / G.M.

En déduire la période de révolution du télescope Hubble qui gravite à l'altitude h = 600 km. (c)

 
SOLUTION


· 1
(e) Le référentiel géocentrique supposé Galiléen est un solide formé par le centre de la terre et par les centres de 3 étoiles lointaines (les quatre points n'étant pas dans un même plan). Dans ce référentiel Paris décrit un cercle.


· 2
(e) Déterminons la vitesse v de la lune et sa période de révolution T

Référentiel Galiléen : le référentiel géocentrique.

Système étudié : la Lune de masse m, située à la distance r du centre de la Terre..

Une seule force extérieure est appliquée sur la Lune :

: attraction gravitationnelle de la Terre sur la Lune.

On sait que, dans la base de Frenet , :

= (revoir la leçon 2)

Théorème du centre d'inertie (revoir la leçon 6) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

Ce théorème s'écrit ici :

= m (1)

= m ( ) (2)

Identifions les coefficients de , d'une part, puis ceux de , d'autre part.

(3) 0 = m = m (4) 

- La relation (3) entraîne aT = = 0 (3 bis ) et montre que la vitesse a une valeur constante. L'accélération tangentielle est nulle mais il y a une accélération centripète aN = = G M / r2 (4 bis)  car la direction du vecteur vitesse varie (revoir la leçon 5).

- La relation (4) permet de calculer la vitesse :

v ² = G M / r (5)

L'énoncé donne :

G = 6,67 ´ 10 - 11 SI

M = 6,0 ´ 10 24 kg

r = 384000 km = 384000000 m = 3,84 ´ 10 8 m

Portons ces valeurs dans la relation (5) :

v ² = 6,67 ´ 10 - 11 ´ 6,0 ´ 10 24 / 3,84 ´ 10 8 = 1,042 ´ 10 6 m² / s².

v = 1021 m / s (6)

- La période de révolution de la Lune autour de la terre est, dans le référentiel géocentrique :

T = 2 p r / v (7) soit, numériquement : T = 2,363 ´ 10 6 s = 27,3 jours (7)

Remarque :

L'accélération du centre d'inertie de la Lune est telle que :

aT = = 0 m / s2 (3 bis )

aN = = (1021)2 / (3,84 ´ 108) = 2,7 ´ 10 - 3 m / s2 d'après (4 bis).

= 0,0027


· 3
(e) Les relations (5) v ² = G M / r et (7) T = 2 p r / v entraînent :

T ² = 4 p ² r ² / v ² = 4 p ² r ² / (G M r - 1) soit :

T ² / r 3 = 4 p ² / (G M) = constante (8). C'est la troisième loi de Képler.

Pour le satellite Hubble (r1 = R + h = 6400 + 600 = 7000 km = 7 ´ 10 6 m) on trouve une période T1 telle que

T1² / r13 = T ² / r 3 soit :

T12 = T 2 (r1 / r) 3 = ( 2,363 ´ 10 6 ) 2 ( 7 ´ 10 6 / 3,84 ´ 10 8 ) 3

T12 = 3,38 ´ 10 7

T1 = 5816 s = 1 h 37 min (9)

 

A VOIR :

Problème résolu ci-dessus : La lune. Troisième loi de Képler

Problème n° 10 A (à résoudre) : Satellite géostationnaire

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