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PARTICULE CHARGEE DANS UN CHAMP ELECTRIQUE UNIFORME - leçon n° 11

 

Cette leçon est traitée sous forme de deux problèmes résolus.


RAPPELS
:


· Entre 2 plateaux parallèles, distants de d, soumis à la différence de potentiel U existe un champ électrique uniforme , dirigé du plateau positif vers le plateau négatif, de valeur :

(revoir la leçon 3)

· Dans un champ électrique , une particule chargée est soumise à la force :

= q (revoir la leçon 3)

· Le travail de la force électrique = q ne dépend que de la différence de potentiel entre le point initial et le point final :

W ( ) = q ( U initial – U final ) (revoir la leçon 6)


PROBLEME 1


ENONCE : Mouvement rectiligne uniformément accéléré


Un ion
27Al +++ quitte la chambre d'ionisation d'un accélérateur avec une vitesse négligeable. Il est attiré par une électrode percée d'un trou A qu'il traverse avec une vitesse VA .


· 1
Calculer la vitesse en A sachant que AO = d = 20 cm et que U AO = - 1000 V  (c)

 

On donne :

g = 9,8 N / kg

e = 1,6 ´ 10 - 19 C

N = 6,02 ´ 10 23 / mol


· 2
Etudier le mouvement entre O et A puis au-delà de A . Calculer la durée du trajet OA. (c)


SOLUTION


· 1
(e) Calculons la vitesse de l'ion au passage par le point A.

Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Système étudié : l’ion 27Al +++ de masse molaire M = 27 g / mol et de masse :

m = 27 / 6,02.10 23 = 4,49 ´ 10 - 23 g = 4,49 ´ 10 - 26 kg

Forces extérieures appliquées sur l'ion :

- La force électrique = q qui représente l'action du champ électrique sur l'ion Al+++ (q = 3 e)

- Le poids = m qui représente l'action de la Terre (essentiellement) sur l'ion Al+++ .

- Comparons la valeur du poids et celle de la force électrique :

Le champ électrique = 5000 V / m permet de calculer la force électrique :

= q = 3 e = 3 ´ 1,6 ´ 10 - 19 ´ 5000

= 2,4 ´ 10 - 15 N

Calculons le poids de l'ion :

= m = 4,49 ´ 10 - 26 ´ 9,8

= 4,39 ´ 10 - 25 N

Le poids est très inférieur à la force électrique et sera négligé par la suite.

- Appliquons le théorème de la variation de l'énergie cinétique :

Théorème de l'énergie cinétique (revoir la leçon 6) :

Dans un référentiel Galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un solide, entre deux instants t initial et t final, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants.

Pour un solide en translation :

m.V²final - m.V²initial = W( ) + W( ) + ...

 Ici, on écrira :

m VA² - 0 = W ( ) = q ( UO - UA ) ou encore :

VA² = 2 q ( UO - UA ) / m soit numériquement :

VA² = 2 ´ 4,8 ´ 10 - 19 ´ 1000 / 4,49 ´ 10 - 26 = 2,138 ´ 10 10 m² / s²

VA = 1,46 ´ 10 5 m / s

 

· 2 (e) Mouvement de l'ion Al +++ dans le champ électrique dirigé du plateau positif vers le plateau négatif.

Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Système étudié : l’ion 27Al +++.

Forces appliquées :

- Seule la force électrique = q agit sur l'ion Al+++.

- Le poids est négligeable.

Appliquons le théorème du centre d'inertie (revoir la leçon 6) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

 Ici, on écrit :

q = m

Projetons dans la base en posant :

E = = 5000 V / m

q = 3 e = 3 ´ 1,6.10 - 19 = 4,8 ´ 10 - 19 C

La lecture des colonnes 3, 4, 5 permet de remplir les colonnes 6 et 7

Entre O et A le mouvement est rectiligne uniformément accéléré :

X = (q E / m) (1) ou encore X = 2,673 ´ 1010 (5)

La durée du trajet OA = xA = 0,20 m est donnée par la relation (5) :

0,20 = 2,673 ´ 1010 tA²

tA² = 7,48 ´ 10 - 12 s² soit :

tA = 2,73 ´ 10 - 6 s (6)

- Au-delà de A le mouvement de l’ion est un mouvement rectiligne à vitesse constante (aucune force n'agit sur l'ion).

Conclusion : Tous les appareils à canon d'électrons (oscilloscope, télévision, micro-ordinateur, etc) accélèrent les électrons de façon semblable à celle étudiée ici.


PROBLEME 2


ENONCE : Mouvement parabolique - Déflexion électrostatique


Un électron de charge q = - e, de masse m, arrive dans le vide, à l'instant t = 0 au point origine O d'un référentiel galiléen (voir schéma ci-dessous). Sa vitesse est :

= V0 ( V0 > O )

Cet électron est alors soumis à l'action d'un champ électrostatique uniforme :

= - avec U = UP - UN > 0

Ce champ électrostatique uniforme est créé entre deux plaques P et N dans la région d'espace définie par :

O < x < L et - d / 2 < y < d / 2 (voir schéma).


·
1-
Montrer qu'entre les plaques la trajectoire de l'électron est parabolique. (c)


·
2-
Donner la condition sur la tension U pour que la particule sorte du champ sans heurter les plaques. (c)


·
3-
Cette condition réalisée, la particule frappe un écran situé dans un plan x = D > L.

Exprimer la déviation 0' I du point d'impact et montrer qu'elle est fonction linéaire de la tension U = UP - UN appliquée entre les plaques P et N. (c)

 
SOLUTION


· 1-
(e) Etudions la trajectoire de l'électron dans le champ électrostatique uniforme (entre les plaques P et N).

Référentiel Galiléen : le solide terre.

Système étudié : l'électron.

Forces appliquées :

- La force électrique = q qui représente l'action du champ électrique sur l'électron (q = - e)

- Le poids = m est négligeable devant la force électrique

- Appliquons le théorème du centre d'inertie (voir la leçon 6) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

 Ici, on écrit :

q = m (La charge q de l'électron étant négative, les vecteurs et sont de sens contraire).

- Posons :

Norme du champ électrique

E =

Vitesse de l'électron à la date t = 0

Vo =

Charge élémentaire e > 0

e = + 1,6 ´10 - 19 C

Charge de l'électron q < 0

q = - 1, 6 ´ 10 - 19 C

- Projetons la relation q = m dans la base :

La lecture des colonnes 3, 4, 5 permet de remplir les colonnes 6 et 7

Le relation  (1) s'écrit t = X / V0. Portons dans la relation (2) qui donne :

Y = X 2 ou encore, avec E =

Y = X 2 (5)

Entre les points O et S la trajectoire de l'électron est parabolique.


· 2-
(e) Cherchons les valeurs positives de la tension U pour lesquelles l'électron sort du champ sans heurter les plaques.

L'électron sort du champ électrique sans heurter les plaques :

si pour xS = OH = L on a yS < d / 2 soit

si pour xS = OH = L on a L2 < d / 2 ou encore :

U < m VO² d ² / e L² (6)

 

· 3- (e) Calcul de la déviation 0' I (voir le schéma)

Après S, l'électron n'est plus soumis à aucune force et possède un mouvement rectiligne uniforme suivant la tangente à la parabole au point S.

On sait (revoir la leçon 1) que cette droite SI passe par le milieu A du segment OH.

L'angle de déviation q de la particule est tel que :

(7)

La déviation O' I est proportionnelle à la tension appliquée U.

Remarque 1 : Si U était négatif la déviation aurait lieu vers le bas de l'écran.

Remarque 2 : Ce type de déviation électrique intervient dans de nombreux appareils, notamment les oscilloscopes.

 

A VOIR :

Problèmes résolus ci-dessus :

Mouvement rectiligne uniformément accéléré

Mouvement parabolique et déflexion électrique

Problème n° 11-A (à résoudre) : Oscilloscope

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