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PARTICULE CHARGEE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE - leçon n° 12

 

Après l'introduction de la force de Lorentz, cette leçon est traitée sous forme de deux problèmes.


FORCE DE LORENTZ


Dans un champ magnétique une particule de charge q, animée d'une vitesse , est soumise à la force de Lorentz :

= avec =

Remarques :

· La puissance fournie par la force de Lorentz est nulle car est perpendiculaire à :

p = . = cos 90° = 0 ( Watt )

· La force de Lorentz ne fournit aucun travail car est perpendiculaire à donc à la trajectoire. L'énergie cinétique de la particule ne change pas. La vitesse de la particule garde une valeur constante mais la direction de la vitesse, elle, peut changer.

· Le poids de la particule est très souvent négligeable devant la force de Lorentz.


PROBLEME 1


ENONCE : Spectrographe de masse


On veut séparer des ions
79Br - et 81Br - de masses m1 et m2 . Ces ions pénètrent en O dans un champ électrique uniforme, créé par une tension U = U1 - U2 = - 4000 V appliquée entre les 2 plaques verticales P1 et P2.


· 1-
Calculer les masses m1 et m2 des 2 ions.

Déterminer leur vitesse en A. On néglige les vitesses en O.

Nombre d'Avogadro : N = 6,02 ´ 10 23 / mole

Charge élémentaire e = 1,6 ´ 10 - 19 C (c)


· 2-
Les ions bromures pénètrent alors dans un champ magnétique uniforme , perpendiculaire à la figure, de valeur 0,100 Tesla.

Déterminer le sens de .

Montrer que, dans la région où existe , le mouvement des ions est circulaire uniforme.

Calculer le rayon des arcs de cercles décrits par les deux types d'ions .

Calculer la distance MP séparant les points d'impact. (c)


SOLUTION


· 1- (e) Calcul des masses m1 et m2 des ions et de leur vitesse au point A.

- Calcul de la masse des ions.

La masse molaire de l'ion 79Br - est M 1 = 79 g / mole = 0,079 kg / mole

La masse d'un seul ion est :

m1 = M1 / N = 0,079 / 6,02.10 23 = 1,31 ´ 10 - 25 kg (1)

On calcule de même :

m2 = M2 / N = 0,081 / 6,02.10 23 = 1,34 ´ 10 - 25 kg (2)

- Calcul de la vitesse au point A.

 

Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Système étudié : l’ion bromure 79Br - de masse m1.

Forces appliquées sur l'ion :

- La force électrique = q (action du champ électrique créé par les plaques P1 et P2 sur l'ion).

- Le poids (essentiellement action de la Terre sur l'ion) est négligé.

Appliquons le théorème de la variation de l'énergie cinétique :

Théorème de l'énergie cinétique (revoir la leçon 6) :

Dans un référentiel Galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un solide, entre deux instants t initial et t final, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants.

Pour un solide en translation :

m.V²final - m.V²initial = W( ) + W( ) + ...

 Ici, on écrira, en négligeant la vitesse initiale VO au point O :

m1 V1A² - 0 = W ( ) = q ( UO - UA ) ou encore :

V1A² = 2 q ( UO - UA ) / m1

V1A² = 2 q ( U1 - U2 ) / m1 soit numériquement :

V1A² = 2 ´ (- 1,6 ´ 10 - 19) ´ (- 4000) / 1,31 ´ 10 - 25 = 9,771 ´ 10 9 m² / s²

V1A = 9,885 ´ 10 4 m / s (3)  

- On peut étudier de la même façon l'ion 81Br - de masse m2. On trouve :

V2A² = 2 q ( UO - UA ) / m2 soit numériquement :

V2A = 9,773 ´ 10 4 m / s  (4)

 

· 2- (e) Etude du mouvement des ions dans le champ magnétique uniforme existant dans le spectrographe de masse.

Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Système étudié : l’ion bromure 79Br - de masse m1.

Forces appliquées sur l'ion : une seule force notable : la force magnétique de Lorentz.

- La force électrique disparaît après le point A.

- Le poids est négligeable par rapport à la force de Lorentz.

- La force magnétique de Lorentz = (5) représente l'action du champ magnétique sur l'ion en mouvement avec :

=

= .. sin 90°

Posons V = et B = . La ligne précédente s'écrit :

= ½ q ½.V. B (6)

- Le champ magnétique doit être tel que le trièdre , et soit direct.

On connaît la direction et le sens de et de .

La règle de la main droite indique que est perpendiculaire à la figure ci-dessous et rentrant.

- On néglige toujours le poids de l'ion devant la force de Lorentz.

- Appliquons le théorème du centre d'inertie :

Théorème du centre d'inertie (revoir la leçon 6) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

 Ici, on écrit :

= m (7) ou encore, en utilisant la base de Frénet (voir le schéma) :

0 + = m ( ) (8)

Identifions, dans les deux membres de la relation (8), les coefficients de , d'une part, puis ceux de , d'autre part.

(9) 0 = m = m (10) 

- La relation (9) entraine = 0 et montre que la valeur V de la vitesse reste constante.

L'accélération tangentielle est nulle ( = 0 ) mais il y a une accélération centripète car R n'est pas infini.

(R n'est infiniment grand que pour une trajectoire rectiligne. En effet, une droite peut être considérée comme un cercle de rayon infini).

De façon équivalente, on peut dire qu'il y a une accélération centripète car la direction du vecteur vitesse change.

- Les relations (6) et (10) donnent : ½ q ½.V. B = m soit :

(11)

Le rayon R de la trajectoire reste constant. La trajectoire est donc un cercle de centre C et de rayon R.

- Dans la région où règne le champ magnétique uniforme , le mouvement des ions est donc circulaire uniforme.

On calcule :

R1 = m1V1 / ½ q ½B = 0,811 m

R2 = m2V2 / ½ q ½B = 0,818 m.

On en déduit :

MP = 2 R2 - 2 R1 = 2 ( R2 - R1 ) = 0,014 m (12)

 

PROBLEME 2

 
ENONCE : Déflexion magnétique


Un électron arrive en O avec une vitesse = Vo . ( Vo positif).

Il est soumis à l'action d'un champ magnétique uniforme = B . (B positif) créé dans la région 0 < x < L.

L'électron décrit alors un arc de cercle OS de rayon R = m Vo / e B. (voir le problème 1)

Calculer la déviation O' I observée sur un écran situé dans un plan perpendiculaire à d'abscisse x = D >> L ( L petit )

 
SOLUTION :


Calculons la déviation O' I observée sur un écran situé dans un plan perpendiculaire à d'abscisse x = D >> L

Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Système étudié : l'électron de charge q = - e ( q est négatif, e = 1,6 ´ 10 - 19 C est la charge dite élémentaire )

Forces appliquées sur l'électron durant le trajet OS :

- La force magnétique de Lorentz = (5) représente l'action du champ magnétique sur l'électron en mouvement.

Cette force oblige l'électron à décrire un arc de cercle OS de rayon R = m.V / e.B (voir le problème 1) de centre C.

- Le poids de l'électron qui est négligeable par rapport à cette force magnétique.

Forces appliquées durant le trajet SI :

Après le point S (sortie du champ magnétique) aucune force n'agit sur l'électron. Le mouvement de l'électron devient rectiligne uniforme (revoir la leçon 6)

La déviation angulaire q étant petite on peut écrire tan q » q ( en radian ) soit, d'après les relations écrites à droite de la figure :

tan q » q

O' I / D » L / R ou encore

O' I » D L / R soit, en remplaçant R par sa valeur R = m Vo / e B (énoncé):

O' I » ( D.e.L / m.Vo ) ´ B

La déviation O' I sur l'écran est proportionnelle à B.

Ce type de déviation magnétique est utilisé dans les appareils de télévision et les accélérateurs de particules.

 

A VOIR :

Problèmes résolus ci-dessus :

Spectrographe de masse

Déflexion magnétique

Problème n° 12-A (à résoudre) : Cyclotron

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