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PENDULE SIMPLE - leçon n° 13

 

Cette leçon comporte cinq paragraphes. Les paragraphes 2 et 3 sont traités sous forme de problèmes résolus.


1- DEFINITION


Un pendule simple est constitué d’un solide de petite dimension, de masse M suspendu à un point fixe O par un fil de longueur L. Ecarté de sa position d’équilibre, il oscille dans le champ de pesanteur terrestre g.


2- PROBLEME : Période propre des petites oscillations libres d'un pendule simple


ENONCE


Les oscillations libres de faible amplitude sont quasi sinusoïdales. A priori, la période propre To peut dépendre de la longueur L du fil, de la masse M de la bille et de la pesanteur g. Déterminer, à une constante près, l’expression de cette période To.
(c)

Remarque : Les oscillations sont dites libres car le pendule, écarté de sa position d'équilibre (il reçoit alors de l'énergie potentielle) , est abandonné à lui même.


SOLUTION


(e) D’après l’énoncé ou peut poser To = k La Mb gg ( k étant une constante sans unité ).

Cette relation doit être homogène pour les unités : seconde s, mètre m, kilogramme kg. On doit donc avoir :

[ s ] = [ m ]a [ kg ]b [ N / kg ]g

Mais, d’après la relation F = M.a, le Newton N est équivalent à kg . m / s².

[ s ] = [ m ]a [ kg ]b [ [kg . m / s² kg ]g

[ s ] = [ m ]a + g [ kg ]b [ s ] - 2g

On en déduit :

1 = - 2 g

0 = a + g

0 = b

Ce qui donne :

g = - 1/2

a = 1/2

b = 0

De plus, l’expérience et la théorie montre que k = 2 p pour les petites oscillations (amplitude inférieure à environ 20°)

Finalement la période propre des petites oscillations du pendule simple est :

 

3- PROBLEME : Oscillations libres de grande amplitude. Vitesse. Tension du fil.


ENONCE


Un pendule simple est constitué d’une bille de masse m = 200 g, suspendue à un fil de longueur L = 1 m.

On écarte le fil d’un angle a = 70 ° par rapport à la verticale et on l’abandonne sans vitesse initiale. On néglige les frottements. On donne g = 9,8 N / kg.

· a- Calculer la vitesse de la bille à son passage par le point de plus basse altitude C. (c)

· b- Calculer la tension F du fil pour les deux positions a1 = 30 ° (point B) puis a0 = 0 ° (point C). (c)

· c- On place au point I, tel que OI = 30 cm, une petite butée.

La bille est lâchée comme précédemment. On cherche à savoir jusque en quel point D la bille remontera. Calculer l’angle de remontée q. (c)


SOLUTION


· a- (e) Calculons la vitesse de la bille à son passage par le point de plus basse altitude C.

figure 1

Référentiel Galiléen : le solide Terre

Système étudié : la bille

Deux forces appliquées :

Le poids (essentiellement action gravitationnelle de la terre sur la bille)

La force (action du fil sur la bille)

- Appliquons le théorème de l’énergie cinétique entre le point final C et le point initial A.

Théorème de l'énergie cinétique (revoir la leçon 6) :

Dans un référentiel Galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un solide, entre deux instants t initial et t final, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants.

Pour un solide en translation :

m.V²final - m.V²initial = W( ) + W( ) + ...

 Ici, on écrira, en tenant compte du fait que la vitesse initiale VA au point A est nulle :

m VC² - 0 = W ( ) + W ( ) (1)

Calculons les travaux des deux forces lors du trajet circulaire de A vers C :

W ( ) = 0 Joule car reste perpendiculaire à la trajectoire circulaire.

W ( ) = + mgh = mg ´ CE

La figure 1 donne CE = CO – EO = = L – L cos 70° = L (1 – cos 70°) = 0,658 m (2)

- Portons dans (1) :

m VC² - 0 = 0 + mg L (1 – cos 70°)

VC² = 2g L (1 – cos 70°) = 12,9 m²/s² soit :

VC = 3,59 m/s (3)

 

· b- (e) Calcul de la tension du fil .


- On pourrait déterminer la vitesse de la bille au point B comme on vient de déterminer la vitesse au point C.

Nous préférons appliquer le théorème de la conservation de l'énergie mécanique du système bille-terre (voir la leçon 6) :

Théorème : L'énergie mécanique d'un système soumis uniquement à des forces conservatives est constante.

Rappel : Une force est conservative si son travail ne dépend pas du chemin suivi pour aller de la position initiale à la position finale. C’est, ici, le cas du poids et de la tension du fil (travail nul). On néglige les frottements.

- Ecrivons que l'énergie mécanique du système bille-terre est la même au point B qu'au point A :

Em (B) = Em (A)

Ec (B) + Ep (B) = Ec (A) + Ep (A)

m VB2 + m g zB = m VA2 + m g zA

VB2 = VA2 + 2 g ( zA - zB ) (4)

Par convention, prenons nulle l’énergie potentielle du système lorsque la bille passe par sa position la plus basse C, ce qui revient à poser zC = 0 m.

zA = CE = CO – EO = = L – L cos 70° = L (1 – cos 70°) = 0,658 m (2)

zB = CJ = CO - JO = L – L cos 30° = 1 – 1´ cos 30° = 0,134 m (5)

Portons ces valeurs dans la relation (4), en tenant compte du fait que la vitesse initiale VA est nulle.

VB2 = VA2 + 2g( zA - zB ) = 0 + 2 ´ 9,8 ´ (0,658 - 0,134)

VB2 = 10,27 m²/s²

VB = 3,20 m/s (6)

- Raisonnons maintenant sur la bille. Elle est soumise à deux forces :

Le poids (essentiellement action de la terre sur la bille)

La force (action du fil sur la bille)

Appliquons le théorème du centre d'inertie :

Théorème du centre d'inertie (revoir la leçon 6) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

 Ici, on écrit :

+ = m (7)

Rappel : Dans la base de Frenet, le vecteur accélération s'écrit :

(revoir la leçon 5)

- Projetons la relation (7) sur la normale unitaire de Frenet au point B :

PN + FN = m aN (7bis)

P cos 150° + FB = m VB2 / L(dans ce problème R = L)

figure 2

Numériquement, on obtient :

1,96 cos 150° + FB = 0,2 ´ 10,27 / 1 soit :

FB = 3,75 N (8)

- Projetons maintenant la relation (7) sur la normale unitaire de Frenet au point C :

P cos 180° + FC = m VC2 / L

figure 3

Numériquement, on obtient :

1,96 cos 180° + FC = 0,2 ´ 12,9 / 1 soit :

FC = 4,57 N (9)

Remarque : Ci-dessus, on a posé P = , F =


· c- (e) Calcul de l’angle de remontée q

figure 4

Le fil frappe la butée I. La bille remonte jusqu'au point D.

En l'absence de frottement, l’énergie mécanique se conserve encore :

Em (A) = Em (D) soit :

0 + m g zA = 0 + m g zD

On en déduit que D est à la même altitude que A :

zD = zA = 0,658 m.

Dans le triangle rectangle IED on a :

cos q = EI / DI = (CI – CE) / DI = ( 0,70 – 0,658 ) / 0,70 = 0,060

q = 86,6 ° (10)

 

4- AMORTISSEMENT ET ENTRETIEN DES OSCILLATIONS D’UN PENDULE SIMPLE


a- Amortissement

En réalité, existent toujours des forces de frottement qui dissipent de la chaleur vers le milieu extérieur et font diminuer l'énergie mécanique du système bille-terre. Cela se traduit par une diminution de l'amplitude des oscillations.

Cette diminution de l'amplitude existe déjà dans l'air mais devient très visible si le pendule oscille dans de l'eau ou mieux dans de l'huile très visqueuse.

- Dans le premier cas (amortissement faible dans l'eau) le régime est dit pseudo-périodique (voir la figure 5).

figure 5

- Dans le deuxième cas (amortissement important dans de l'huile très visqueuse), la bille, écartée de sa position d'équilibre puis lachée, revient vers cette position d'équilibre sans la dépasser. On dit que le régime est apériodique (voir la figure 6).

figure 6

 

b- Entretien des oscillations d'un pendule amorti

Pour entretenir des oscillations d'amplitude constante malgré les forces de frottement il faut restituer à l'oscillateur l'énergie qu'il perd.

Dans le cas d'une horloge à balancier, une roue dentée relance le pendule à chaque demi-oscillation. La roue dentée tourne grâce à la descente d'une masse qu'il faut périodiquement remonter. La réserve d'énergie dans laquelle puise le pendule est donc constituée par l'énergie potentielle de cette masse. Les frottements dissipent l'énergie mécanique sous forme de chaleur mais cette perte est compensée par l'apport d'énergie fournie par la réserve.

L'amplitude des oscillations reste alors constante (voir la figure 7)

figure 7

 

5- OSCILLATIONS FORCEES D’UN PENDULE SIMPLE AMORTI

 
a- Définition

Un oscillateur, de fréquence propre fo = 1 / To, subit des oscillations forcées s'il oscille à une fréquence f imposée par un oscillateur extérieur appelée excitateur.

 
b- Etude expérimentale

L'oscillateur étudié est le résonateur léger de période propre To. Il est amorti par des frottements avec le fluide eau.

figure 8

L'excitateur lourd (pour éviter que le résonateur n'agisse sur lui), de fréquence f réglable, est mis en mouvement. Il transfère, par l'intermédiaire du câble élastique horizontal, une partie de son énergie au résonateur amorti qui se met à osciller à la même fréquence f, en général différente de sa fréquence propre fo.

Changeons la fréquence f de l'excitateur (en modifiant L2) et mesurons l'amplitude des oscillations du résonateur.

L'amplitude du résonateur passe par un maximum pour une fréquence particulière fr imposée par l'excitateur (fréquence de résonance).

Cette fréquence de résonance fr est proche de la fréquence propre fo si l'amortissement est faible. Si l'amortissement augmente la fréquence de résonance diminue. Il n'y a plus de résonance si l'amortissement devient très important.

La courbe donnant les variations de l'amplitude des oscillations du résonateur en fonction de la fréquence qui lui est imposée par l'excitateur s'appelle courbe de résonance.

figure 9

La bande passante à trois décibels représente l'intervalle de fréquences comprises entre f1 et f2 pour lesquelles l'amplitude angulaire est supérieure à (ao étant l'amplitude à la résonance, obtenue pour une fréquence voisine de la fréquence propre fo). (voir la figure 9).

Influence de l'amortissement : Si l'eau est remplacée par un liquide plus visqueux (eau très sucrée) la résonance devient plus floue (ao devient plus petit et la bande passante s'élargit). (voir la figure 10).

figure 10

 

A VOIR :

Problèmes résolus ci-dessus :

Période propre des petites oscillations libres d'un pendule simple

Oscillations libres de grande amplitude. Vitesse. Tension du fil

Problème n° 13-A (à résoudre) : Pendule de Foucault

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