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PENDULE ELASTIQUE - leçon n° 14

 

Cette leçon comporte cinq paragraphes.


1- RAPPELS


· Un ressort exerce sur un solide une force de rappel F proportionnelle à son allongement L – L0 :

F = K (L – L0) (1)

K est le coefficient de raideur du ressort. On l'exprime en N / m.

· L’équation différentielle (2) + w 02 x = 0 a pour solution x = Xm cos ( w o t + j ) (3) (revoir la leçon 5)


2- PENDULE ELASTIQUE LIBRE NON AMORTI


Le montage suivant constitue un pendule élastique horizontal. En l'absence de frottement solide-solide, ou solide-fluide, on dit que ce pendule élastique est non amorti. Etudions les oscillations du solide de masse m lorsque, après l'avoir écarté de sa position de repos, on l'abandonne à lui-même. On suppose que le ressort de coefficient de raideur K a une masse négligeable.

· Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Repère orthonormé associé à ce référentiel : O, .

· Système étudié : le solide de masse m.

· Le solide est soumis à 3 forces :

(essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le mobile)

(action normale de la piste sur le mobile. Ici, on néglige les frottements)

(action du ressort sur le mobile)

Remarque : La force exercée par le ressort sur le mobile peut s'écrire = K = - K (2)

Les coordonnées de dans la base sont :

Fx = - K x

Fy = 0 (N)

· Appliquons le théorème du centre d'inertie :

Théorème du centre d'inertie (revoir la leçon 6) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

Ici, ce théorème s'écrit :

+ + = m (4)

· Projetons sur le vecteur unitaire :

0 + 0 - K x = m

m + K x = 0

+ w02 x = 0 (5) en posant w02 = K/m (6)

L'équation (5) est une équation différentielle du second ordre, à coefficients constants, sans second membre.

· La solution de l'équation différentielle du mouvement (5) est :

x = Xm cos ( w0 t + j ) (7)

La pulsation propre est :

(8)

La période propre est To = 2 p / w0 soit :

(9)

La fréquence propre des oscillations est No = 1 / To.

Conclusion : Les oscillations libres d'un pendule élastique non amorti sont donc sinusoïdales.


3- ENERGIE POTENTIELLE ELASTIQUE DU RESSORT. ENERGIE MECANIQUE DU SYSTEME


· On montre que l’énergie potentielle élastique du ressort est :

EP = K (OM)2 (10)

· L’énergie mécanique du système masse-ressort est :

Em = EC + EP = m V2 + K x2 (11)

· L’énergie mécanique du système masse-ressort se conserve en l’absence de frottement.

Remarque : On peut retrouver l’équation différentielle du mouvement + w02 x = 0 (5) en écrivant que l’énergie mécanique du système masse-ressort se conserve. A faire.


4- OSCILLATEUR LIBRE AMORTI PAR FROTTEMENT VISQUEUX


En présence de frottement modéré (pendule placé dans l'eau) l’amplitude des oscillations diminue.

Si les frottements sont très importants, le pendule, écarté de sa position d'équilibre puis abandonné à lui-même, revient vers sa position d'équilibre sans osciller.

Remarques :

· En présence de frottement, l'énergie mécanique du système masse-ressort ne se conserve plus. Elle diminue et se transforme en chaleur dissipée vers le milieu extérieur.

· Oscillations entretenues : Malgré les frottements on peut maintenir une amplitude constante à condition de prévoir un dispositif d'entretien des oscillations. Ce dispositif doit fournir au pendule une énergie permettant de compenser l'énergie dissipée par les forces de frottement. Cet apport d'énergie doit se faire à la fréquence où se produiraient les oscillations si le pendule n'était ni amorti ni entretenu. Cette fréquence est la fréquence propre du pendule élastique.

· Dans le cas de frottement d'un solide avec un fluide la force de frottement est proportionnelle à la vitesse (tant que la vitesse n'est pas trop grande). On écrit :

= - l avec l > 0 (12)

Pour un pendule élastique oscillant dans un fluide (eau, par exemple), la force de frottement est résistante. Le vecteur force est de sens opposé au vecteur vitesse .


5- OSCILLATIONS FORCEES D'UN PENDULE ELASTIQUE.


· Grâce à un moteur, on applique à l’oscillateur, amorti par frottement solide-liquide, une force motrice extérieure périodique, de période T pouvant être différente de la période propre de l'oscillateur.

- On remarque que le système solide-ressort (résonateur) oscille à une fréquence égale à la fréquence f de rotation du moteur (excitateur).

- L'amplitude des oscillations dépend de la fréquence f de rotation du moteur. Elle est maximale lorsque la fréquence f du moteur excitateur est voisine de la fréquence propre fo caractérisant le résonateur solide-ressort (on dit que l'oscillateur est à la résonance).

La courbe donnant les variations de l'amplitude des oscillations du résonateur en fonction de la fréquence qui lui est imposée par l'excitateur s'appelle courbe de résonance.

La bande passante à trois décibels représente l'intervalle de fréquences comprises entre f1 et f2 pour lesquelles l'amplitude angulaire est supérieure à (Ao étant l'amplitude à la résonance, obtenue pour une fréquence voisine de la fréquence propre fo)

- Influence de l'amortissement : Si l'eau est remplacée par un liquide plus visqueux (eau très sucrée) la résonance devient plus floue (Ao devient plus petit et la bande passante s'élargit

Remarque : Notons les analogies avec les oscillations forcées d'un pendule simple (revoir la leçon 13).

 

A VOIR :

Problème résolu n° 14-A : Pendule élastique (Bac 1996)

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