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  PROBLEME RESOLU n° 14-A : Pendule élastique (Bac 1996)

 

ENONCE


Dans tout l'exercice, on prendra g
= 10 m / s2. On négligera les frottements. On utilise un ressort de masse négligeable, à spires non jointives.


· 1 Etude préalable du ressort


Pour déterminer la raideur k d'un ressort, on accroche une de ses extrémités à un support fixe. Lorsqu'on accroche une masse marquée m = 200 g à son autre extrémité, le ressort s'allonge de 10,0 cm.

a) Vérifier que la raideur du ressort vaut 20,0 N / m. (c)

b) En utilisant le théorème du centre d'inertie, justifier que la raideur peut aussi s'exprimer en kg / s2.

En quelle unité la quantité s'exprime-t-elle ? (c)

· 2- Etude d'un oscillateur élastique


a) On fixe maintenant le ressort étudié comme l'indique la figure 2. Le ressort est horizontal ; une de ses extrémités est fixe. On accroche à son autre extrémité un solide (S) de masse m = 200 g. Ce solide peut se déplacer sans frottement le long d'un axe horizontal Ox. À l'équilibre, le centre G du solide coïncide avec l'origine 0 du repère.

- Etablir l'équation différentielle qui régit le mouvement de G.

- En déduire l'expression de la pulsation propre w0 de cet oscillateur et celle de sa période propre T0. Calculer numériquement w0 et T0.

- Vérifier que, quelles que soient les valeurs de Xm et j, l'équation horaire x (t) = Xm cos (w0 t + j) est solution de l'équation différentielle précédente. (c)

b) On comprime le ressort vers la gauche. Le point G occupe alors la position Go telle que OGo = - 0,15 m. A l'instant t = 0, on lâche le solide sans vitesse initiale. Déterminer l'amplitude Xm et la phase j du mouvement, ainsi que l'expression de la vitesse v (t) du solide. En déduire la valeur maximale de la vitesse. (c)

c) Définir et exprimer l'énergie mécanique de cet oscillateur non amorti. Calculer sa valeur à l'instant t = 0. (On prendra l'énergie potentielle du ressort nulle lorsque x = 0).

En admettant et en utilisant la conservation de cette énergie mécanique, retrouver la valeur maximale de la vitesse du solide. (c)


SOLUTION


· 1- Etude préalable du ressort


a)
(e) Vérifions que le coefficient de raideur du ressort est égal à k = 20,0 N.m - 1.

figure 1

Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Système étudié : le solide accroché à l'extrémité libre du ressort.

Forces extérieures appliquées sur le solide :

Le poids (essentiellement action de la Terre sur le solide).

La force exercée par le ressort sur le solide.

- La condition d'équilibre s'écrit :

+ = (1)

m + k =

D'où, en projection sur Oz :

m - k = 0

k = m /

k = (0,200 x 10) / 0,100 = 2 / 0,100

k = 20 N / m  (2)

 

b) (e) Justifions que la raideur peut aussi s'exprimer en kg/s2.

D'après le théorème du centre d'inertie (voir la leçon 6), une force est homogène au produit d'une masse par une accélération.

L'unité N est équivalente à kg . m / s 2. Par conséquent :

k = 20 N / m = 20 kg . m / s 2 m = 20 kg / s 2 = 20 kg . s - 2

- Le coefficient de raideur du ressort k s'exprime bien en kg / s 2.

- La quantité m / k s'exprime en kg / kg . s - 2 soit en s2.

- La quantité s'exprime en s.


· 2- Etude d'un oscillateur élastique


a) (e) Equation différentielle du mouvement. Equation horaire du mouvement.

figure 2

Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Système étudié : le solide accroché à l'extrémité libre du ressort.

Forces appliquées : le solide est maintenant soumis à trois forces :

Le poids (essentiellement action de la Terre sur le solide).

La force exercée par le ressort sur le solide avec = k = - k .

La force exercée par le support sur le solide (elle est perpendiculaire aux surfaces en contact car on néglige les frottements)

- Appliquons le théorème du centre d'inertie (voir la leçon 6) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

 Ici, on écrit :

+ + = m (3) avec = - k et par conséquent Fx = - k x

D'où, en projection sur le vecteur unitaire :

0 + 0 - k x = m

 

m + k x = 0

+ w02 x = 0 en posant w02 = k/m soit w0 = (4)

L'équation + w02 x = 0 (5) est l'équation différentielle du mouvement du solide.

C'est une équation différentielle du second ordre, à coefficients constants, sans second membre.

- La pulsation propre de cet oscillateur est ;

w0 = = (20 / 0,200)0,5

w0 = 10 rad / s (6)

- La période propre est :

T0 = 2 p / w0 = 2 p

T0 = 0,628 s (7)

- Vérifions que x = Xm cos (w0 t + j) (8) est solution de l'équation différentielle + w02 x = 0 (5).

Dérivons  x = Xm cos (w0 t + j) (8) par rapport au temps :

= - w0 Xm sin (w0 t + j) (9)

Dérivons  = - w0 Xm sin (w0 t + j) (9) par rapport au temps :

= - w02 Xm cos (w0 t + j) (10)

Portons les relations (8) et (10) dans l'équation (5) :

+ w02 x = - w02 Xm cos (w0 t + j) + w02 Xm cos (w0 t + j)

On retrouve bien la relation (5) + w02 x = 0

x = Xm cos (w0 t + j) (8) est bien solution de l'équation différentielle du mouvement + w02 x = 0 (5)

 

b) (e) Etude d'un cas particulier  

Conditions initiales : à t = 0 s, on a x (o) = - 0,15 m et v (0) = 0 m/s

Portons ces valeurs dans les expressions x = Xm cos (w0 t + j) (8) et v = = - w0 Xm sin (w0 t + j) (9)

Il vient, à t = 0 s :

- 0,15 = Xm cos (j)

 0 = - w0 Xm sin (j)

Soit :

Xm = - 0,15 / cos (j)

 0 = - sin (j)

Il semble y avoir deux solutions :

j1 = 0 (modulo 2 p) avec X1m = - 0,15 m

j2 = p (modulo 2 p) avec X2m = 0,15 m

En fait, ces deux solutions sont identiques car, d'après cos (a + p) = - cos (a) :

x1 = - 0,15 cos (10 t) = 0,15 cos (10 t + p) = x2

On retiendra :

La position x du centre d'inertie G du solide est, à chaque instant, donnée par :

x = 0,15 cos (10 t + p) (11)

En dérivant x par rapport au temps, on obtient la vitesse du solide en translation rectiligne :

v = - 1,5 sin (10 t + p) (12)

La vitesse varie donc entre - 1,5 m/s et + 1,5 m/s qui est la valeur maximale.

Remarque : En dérivant v par rapport au temps, on obtient l'accélération a du solide :

a = - 15 cos (10 t + p)


c)
(e) Etude énergétique de l'oscillateur non amorti.

- Rappelons que x = Xm cos (w0 t + j) (8) et v = - w0 Xm sin (w0 t + j) (9)

- Le système solide-ressort possède, dans le référentiel terrestre Galiléen, l'énergie mécanique :

Em = EP + EC = k x2 + m v2

Em = k Xm2 cos2 (w0 t + j) + m (- w0)2 Xm2 sin2 (w0 t + j)

Mais w02 = k/m (4)

Em = k Xm2 cos2 (w0 t + j) + m k/m Xm2 sin2 (w0 t + j)

Em = k Xm2 [ cos2 (w0 t + j) + sin2 (w0 t + j) ]

On sait que [ cos2 (w0 t + j) + sin2 (w0 t + j) ] = 1

Finalement :

Em = k Xm2 (13)

Cette énergie reste constante lorsque le temps s'écoule (rappelons que nous avons négligé tout frottement).

Avec k = 20 N/m et Xm = - 0,15 m, il vient :

Em = 0,225 J (14)

- Nous venons de voir qu'en l'absence de frottement l'énergie mécanique du système ressort-solide restait constante. Au passage par x = 0 l'énergie potentielle du ressort k x2 est nulle, donc l'énergie cinétique du solide est maximale. Il s'ensuit que :

m v2max = 0,225 soit

0,1 v2max = 0,225

v2max = 2,25 m2 / s2

La vitesse v varie donc entre les valeurs extrêmes - 1,5 m/s et + 1,5 m/s qui est bien la valeur maximale déjà trouvée à la question 2-b.

 

A VOIR :

Problème ci-dessus n° 14-A : Pendule élastique (Bac 1996)

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