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CONDENSATEUR - DIPÔLE RC - leçon n° 15

 

Cette leçon comporte quatre paragraphes. Le paragraphe 4 est traité sous forme de problème résolu.


1- DEFINITION ET REPRESENTATION SYMBOLIQUE D'UN CONDENSATEUR

· Un condensateur est constitué de deux armatures A et B conductrices séparées par un isolant.

Cet isolant, encore appelé diélectrique, peut être de l’air, du mica, du téflon, un polyester, etc.

· Les charges des armatures A et B sont de signes opposées qA = - qB (en Coulomb)

· Dans un condensateur à armatures planes et parallèles, le champ électrique est uniforme et a pour valeur :

= (en V/m) (1)

· Les flèches présentes sur le schéma permettent d'alléger les écritures :

U = UAB (2) et i = iAB (3)

Remarques :

- La tension UAB est égale à la différence de potentiel entre les points A et B :

UAB = UA - UB

- La flèche U (voir le schéma) indique "le potentiel électrique" de son sommet A moins "le potentiel électrique" de sa base B :

U = UA - UB = UAB

- Dans les exercices, il est conseillé de garder les indices, notamment pour les tensions.

L'écriture UAB est préférable à l'écriture U associée à une flèche sur le schéma.


2- RELATIONS FONDAMENTALES POUR UN CONDENSATEUR


La capacité C du condensateur s’exprime en Farad (F). Elle est définie par la relation (1).

La relation (2) relie l'intensité du courant a la tension. Elle est parfois appelée loi d'Ohm pour un condensateur.

L'énergie potentielle électrostatique stockée par un condensateur chargé est donnée par la relation (3).

qA = C uAB (4)

qB = C uBA

qB = - qA

iAB = dqA / dt = C duAB / dt (5)

iBA = dqB / dt = C duBA / dt

iBA = - iAB

WAB = C u²AB (6)

WBA = C u²BA

WBA = WAB

Remarque :

· Des électrons arrivent sur une armature pendant que d'autres quittent l'autre armature. Ces électrons ne traversent pas le diélectrique qui est isolant.

· D'après la relation (5) si la tension uAB est constante alors l'intensité du courant iAB = C duAB / dt est nulle.


3- DIPÔLE RC – ETUDE EXPERIMENTALE – CONSTANTE DE TEMPS t = RC

 
3.1- Etude expérimentale de la charge d’un condensateur à travers une résistance R.

Lorsqu’on relie l’interrupteur K à P le condensateur se charge en fonction du temps. Pendant le régime transitoire, la tension uAB croît. Quand le régime permanent est atteint, la tension uAB est constante et l’intensité du courant est nulle (voir la relation 5 ci-dessus).

 

 La constante de temps t d’un dipôle RC est le temps pour lequel la tangente à l’origine coupe l’asymptote horizontale. Elle caractérise la rapidité de la charge. On montrera plus loin que t = RC (voir 4-1 c).


3.2- Etude expérimentale de la décharge d’un condensateur à travers une résistance R.

Lorsqu’on relie l’interrupteur K à D le condensateur, initialement chargé, se décharge à travers la résistance en fonction du temps. Pendant le régime transitoire, la tension uAB décroît. Quand le régime permanent est atteint, la tension uAB devient constante (nulle) et l’intensité du courant est nulle (voir la relation 5).

La constante de temps t d’un dipôle RC est le temps pour lequel la tangente à la date t = 0 coupe l’asymptote UAB = 0. Elle caractérise la rapidité de la décharge. On montrera plus loin que t = RC (voir 4-1 c).


4- PROBLEME : Dipôle RC – Etude théorique.


ENONCE :


4.1- Etude de la charge du condensateur à travers un conducteur ohmique de résistance R.

Le générateur PM possède une f.e.m. E. Sa résistance interne est négligeable.

a) A la date t = 0 s, on relie K à P. Etablir l’équation différentielle reliant uAB à t. (c)

b) Vérifier que la solution de cette équation est uAB = E ( 1 - exp - t/RC ). (c)

c) Déterminer littéralement les coordonnées du point d'intersection de la tangente à l'origine et de l'asymptote à la courbe. (c)

d) Calculer la constante de temps du circuit t = RC avec R = 10 kW et C = 0,5 mF.

Calculer la tension uAB aux dates t1 = t, t2 = 5 t et lorsque t devient très grand. (c)

On donne E = 100 V.


4.
2- Etude de la décharge du condensateur à travers la résistance R.

Le condensateur étant chargé, on relie K à D à la date t = 0 lue sur un nouveau chronomètre.

a) Etablir la nouvelle équation différentielle reliant uAB à t. (c)

b) Vérifier que la solution est uAB = Uo exp ( – t / RC ). Calculer la tension si t1 = o, si t2 = 5 t, si t tend vers l'infini. (c)


SOLUTION :


4.1- Etude de la charge du condensateur à travers un conducteur ohmique de résistance R.

Le générateur PM possède une f.e.m. E . Sa résistance interne est négligeable. C'est donc un générateur de tension parfait. La tension UPM à ses bornes ne dépend pas de l'intensité du courant débité : UPM = E > 0.

a) (e) Etablissons l’équation différentielle reliant uAB à t.

La loi des tensions (maille PABMP) s’écrit :

uPA + uAB + uBM + uMP = 0

0 + uAB + R iBM – E = 0 (1)

Mais :

iBM = iAB = dqA / dt = C duAB / dt (2)

Portons (2) dans (1) :

uAB + RC duAB / dt = E

RC duAB / dt + uAB = E (3)

C'est une équation différentielle du premier ordre, à coefficients constants, avec second membre constant.


b)
(e) Vérifions que la solution de l'équation différentielle (3) RC duAB / dt + uAB = E est :

(4) uAB = E ( 1 - exp - t/RC ) = E - E exp - t/RC avec :

(4 bis) duAB / dt = 0 + E (1/RC) exp - t/RC

On le vérifie aisément en portant les expressions (4) et (4 bis) dans (3).


c)
(e) Déterminons les coordonnées du point d'intersection H de la tangente à l'origine et de l'asymptote à la courbe.

- La tangente à l'origine des temps a pour pente (duAB/dt)0 = E/RC. Son équation est u = (E/RC) t (5).

- D'après (4) uAB = E ( 1 - exp - t/RC ), si t tend vers l'infini alors uAB tend vers E. L'asymptote est une horizontale d'équation u = E (6).

- Les coordonnées du point d'intersection H de cette asymptote et de la tangente à l'origine satisfont à :

u = (E/RC) t (5) et à u = E (6) soit :

uH = E et tH = RC (7)

tH = RC s'appelle constante de temps du circuit RC. On la note t = RC.


d)
(e) Calculons la constante de temps du circuit t = RC

Avec R = 10 kW et C = 0,5 mF on calcule t = RC = 10000 ´ 0,5 10 - 6 soit :

t = RC = 5 ´ 10 - 3 s (8)

D'après la relation uAB = E ( 1 - exp - t/RC ) (4), on voit que :

- Si to = 0 s alors uAB = E ( 1 - exp - 0 ) = E ( 1 - 1 ) = 0 V (9)

- Si t1 = t alors uAB = E ( 1 - exp - 1 ) = 0,63 E = 63 V (10)

- Si t2 = 5 t alors uAB = E ( 1 - exp - 5 ) = 0,993 E = 99,3 V (11)

- Si t tend vers l'infini alors uAB tend vers E = 100 V (12)

Retenons qu’au bout d’un temps égal à la constante t = RC la charge a atteint 63 % de sa valeur limite et qu'au bout d'un temps de 5 t, la charge a dépassé 99 pour cent de sa valeur limite.


4.
2- Etude de la décharge du condensateur à travers la résistance R.

a) (e) Etablissons la nouvelle équation différentielle reliant uAB à t lors de la décharge.

A la nouvelle date t = o, on bascule l'interrupteur K vers D. Le condensateur initialement chargé va se décharger.

La loi des tensions (maille ABMDA ) s’écrit :

uAB + R iBM + 0 + 0 = 0 (13)

Mais :

iBM = iAB = dqA / dt = C.duAB / dt (2)

Portons la relation (2) dans (13) il vient :

uAB + RC duAB / dt = 0

RC duAB / dt + uAB = 0 (14)

C'est une équation différentielle du premier ordre, à coefficients constants, sans second membre.


b)
(e) Vérifions que la solution de l'équation différentielle (14) RC duAB / dt + uAB = 0 est :

uAB = Uo exp ( – t / RC ) (15) avec

duAB/dt = - Uo (1/RC) exp - t/RC (15 bis)

On le vérifie aisément en portant les expressions (15) et (15 bis) dans (14).

D'après la relation uAB = Uo exp ( – t / RC ) (15), on voit que :

- Si t = 0 alors uAB = Uo = E = 100 V (16)

- Si t1 = RC = t alors uAB = Uo exp ( - 1) = 100 ´ exp ( - 1) = 36,8 V (17)

- Si t2 = 5 t alors uAB = Uo exp ( - 5 ) = E ´ 0,0067 = 0,67 V (18)

- Si t tend vers l'infini alors uAB tend vers 0. (19)

Remarque : Si le générateur applique au dipôle R, C une tension "créneaux" de demi période T/2 supérieure à la constante de temps t = RC alors on observe une succession de charges et de décharges du condensateur.

 

A VOIR :

Problème résolu ci-dessus : Etude théorique de la charge et de la décharge d’un condensateur à travers une résistance R.

Problème résolu n° 15-A : Charge et décharge d'un condensateur.

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