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  PROBLEME RESOLU n° 15-A : Charge et décharge d'un condensateur (Bac 97)

 

ENONCE


On considère le circuit de la figure 1.

Données :

E = 5 V ; R = 10 kW ; C = 100 nF.

figure 1


·
1- Charge d'un condensateur à travers une résistance

On s'intéresse à ce qui se passe quand l'interrupteur est en position 1.

a) Appliquer les relations existant entre les grandeurs électriques (intensité et tensions) dans le circuit pour trouver l'équation liant la tension uBD , sa dérivée par rapport au temps et les caractéristiques des composants du circuit (équation différentielle de charge). On précisera avec soin les conventions et orientations choisies.

Vérifier que uBD = E + a e - b t est solution de l'équation précédente, quelle que soit la valeur de a, si on choisit correctement b. (c)

b) Le condensateur étant préalablement déchargé, on ferme le circuit à l'instant t = 0 en basculant l'interrupteur en position 1. Quelle est la valeur à l'instant t = 0 de la tension uBD ?

Déterminer complètement l'expression de uBD (t) en fonction du temps et des caractéristiques du circuit.

Qu'appelle-t-on constante de temps t du circuit ? Que représente t ? Calculer sa valeur numérique. (c)

c) On dispose d'un oscilloscope permettant d'observer un phénomène qui se produit une fois, c'est-à-dire qui n'est pas répétitif (oscilloscope à mémoire) et qui est branché de manière à visualiser uBD.

Donner l'allure de la courbe uBD (t) observée sur l'écran de l'oscilloscope. (c)


·
2- Décharge

Lorsque le condensateur est chargé, à une date choisie comme nouvelle origine des temps, on bascule l'interrupteur en position 2.

Sous quelle forme l'énergie emmagasinée dans le condensateur est-elle dissipée ?

Quelle est sa valeur numérique ? (c)


SOLUTION :


·
1- Charge d'un condensateur à travers une résistance


a)
(e) Équation différentielle vérifiée par u BD

Lorsque l'interrupteur est en position 1, le circuit étudié est équivalent à celui schématisé sur la figure 2 où les notations et conventions sont précisées.

figure 2

Appliquons la loi des tensions instantanées à la maille ABDFA :

uAB + uBD + uDF + uFA = 0

Ri + uBD + 0 – E = 0 (1)

L'intensité i du courant est reliée à la tension par la relation :

(2) car qB = C uBD (3)

Portons dans l’équation (1), il vient :

+ uBD = E. (4)

C'est une équation différentielle du premier ordre, à coefficients constants, avec second membre constant.

- Vérifions que l'équation différentielle (4) + uBD = E a pour solution :

u BD = E + a e - b t (5) avec :

- ß a e - b t (6)

Reportons les relations (6) et (5) dans l'équation (4) + uBD = E :

- RC b a e - b t + E + a e - b t = E

Après simplification et factorisation, nous obtenons : (– R C b + 1) a e - b t = 0

Et comme a e - b t n'est pas nul, la fonction proposée n'est solution de (4) que si : - R C b + 1 = 0 soit :

b = 1 / RC (7)

uBD = E + a e - b t (5) avec b = 1 / RC (7) est solution de + uBD = E. (4) quelle que soit la valeur de a.

 

b) (e) Compte tenu de l'expression b = 1 / RC (7) la tension uBD s'écrit :

uBD (t) = E + a e - t / RC (5 bis)

- A t = 0 s, le condensateur est déchargé ; la tension entre ses bornes est : uBD(0) = 0 V avec e0 = 1.

Portons ces valeurs initiales dans (5 bis)

0 = E + a = 0 ® a = – E

En factorisant alors E, uBD s'écrit finalement :

uBD(t) = E ( 1 – e - t / RC ) (8)

- La constante de temps du circuit est la grandeur t = RC

Avec R = 10 kW = 10 4W et C = 100 nF = 10 - 7F, on obtient :

t = 10 - 3 s (9)

 

c) (e) Compte tenu des valeurs de uBD à t = 0 et lorsque t ® + ¥ , l'allure de la courbe uBD(t) observée est celle de la figure 3.

figure 3

 

· 2- (e) Décharge

Lorsque le condensateur est chargé, à une date choisie comme nouvelle origine des temps, on bascule l'interrupteur en position 2 (voir la figure 4).

figure 4

L'énergie initialement emmagasinée dans le condensateur va être dissipée sous forme calorifique dans le conducteur ohmique de résistance R.

- D'une façon générale, l'énergie emmagasinée dans le condensateur est : WC(t) = C u2

- Au début de la phase de décharge, c'est-à-dire à la fin de la phase de charge, uBD= E. L'énergie emmagasinée dans le condensateur à l'instant initial de la décharge est alors :

WC(initial) = C E2

Numériquement, avec C = 10 - 7F et E = 5 V, on trouve : .

WC(initial) = 1,3 × 10 - 6 J.

- À la fin de la phase de décharge, uBD(final) = 0 V et donc :

WC(final) = 0 Joule.

- Dans ces conditions, l'énergie W dissipée dans le circuit pendant la phase de décharge est :

W = WC(initial) – WC(final) = C E2 - 0 = 1,3 × 10 - 6 J (10)

Cette énergie a été dissipée par effet Joule dans la résistance R.

 

A VOIR :

Problème résolu de la leçon 15 : Etude théorique de la charge et de la décharge d’un condensateur à travers une résistance R.

Problème résolu n° 15-A ci-dessus (avec corrigé) : Charge et décharge d'un condensateur.

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