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INDUCTION · AUTO-INDUCTION · DIPOLE LR - leçon n° 16

 

Cette leçon comporte quatre paragraphes. Le paragraphe 4 est traité sous forme de problème résolu.

Seul le paragraphe 1 n'est pas au programme pour le bac 2002.


1- PHENOMENE D'INDUCTION
(allègement de programme pour le bac 2002)

· Lorsqu’une bobine est soumise à un champ magnétique variable, elle est le siège d’une force électromotrice induite e qui tend à s’opposer aux variations de au niveau de la bobine. Plus la variation de est rapide dans le temps, plus la f.e.m. est grande.

En circuit ouvert (i = 0 A), une tension induite apparaît entre les bornes de la bobine.

En circuit fermé, un courant électrique induit parcourt le circuit.

· D’après la loi de LENZ, les effets du courant électrique induit, si le circuit induit est fermé, s’opposent aux causes qui lui donnent naissance.

· Le phénomène d’induction est utilisé, notamment, dans les alternateurs des centrales qui convertissent de l’énergie mécanique en énergie électrique, dans les microphones électrodynamiques, dans les transformateurs, etc.

Exemple d'application de la loi de Lenz :

- Lorsqu'on approche le pôle Nord N de l'aimant (inducteur) de la bobine (induit) celle-ci sera soumise à un champ magnétique variable. Le sens du courant électrique induit sera tel (Loi de Lenz ci-dessus) que la face gauche de la bobine soit une face nord n tentant de repousser N. Le champ magnétique induit doit être dirigé vers la gauche. On en déduit, d'après la règle de la main droite, que le courant induit doit circuler dans le sens positif.

- C'est le travail mis en jeu pour déplacer l'aimant inducteur qui devient, en partie, énergie électrique dans le circuit induit. En effet, il faut vaincre la répulsion que la face nord n de la bobine exerce sur le pôle Nord N de l'aimant qui s'approche.

Remarques :

- On peut faire une étude semblable dans le cas où on éloigne l'inducteur vers la gauche puis dans le cas où on fait tourner l'aimant autour d'un axe perpendiculaire à la figure.

- On peut aussi laisser l'aimant fixe et déplacer la bobine. Des observations semblables à celles décrites ci-dessus sont faites.

- On peut créer le champ magnétique inducteur grâce à une première bobine parcourue par un courant. La deuxième bobine, sera encore le siège d'une force électromotrice induite e si le champ magnétique inducteur varie.

- Dans l'étude du phénomène d'induction, l'inducteur et l'induit sont distincts. Dans l'étude du phénomène d'auto-induction qui va maintenant être faite, l'inducteur et l'induit sont confondus.


2- AUTO-INDUCTION DANS UNE BOBINE

· Lorsqu’une bobine est parcourue par un courant électrique variable, le champ créé dans la bobine par ce courant est variable. La bobine est alors le siège d’une f.é.m. auto-induite e d’autant plus importante que le courant varie rapidement. On a alors :

L > 0 s’appelle inductance de la bobine et se mesure en Henry (H)

- Cette relation algébrique nécessite les conventions d'orientation suivantes :

Un sens positif étant choisi pour i, la force électromotrice e du dipôle étudié est positive si ce dipôle tend à faire circuler un courant dans le sens positif (voir le paragraphe 5).

· Dans un montage où se manifeste le phénomène d'auto-induction l'inducteur et l'induit sont confondus. L'inducteur et l'induit étaient distincts dans le montage du premier paragraphe où était présenté le phénomène d'induction.

· La présence dans la bobine d’un noyau en fer, cobalt ou nickel augmente son inductance L.

Exemple d'application du phénomène d'auto-induction :

A l'instant t = 0, on ferme les deux interrupteurs.

- La lampe 1 s'éclaire quasi instantanément.

Elle est parcourue par un courant électrique d'intensité i qui satisfait à E = (R + r) i.

- L'éclat de la lampe 2 augmente progressivement. Ce n'est qu'avec un certain retard que son éclat atteint celui de la lampe 1. En effet l'intensité du courant i, initialement nulle, est une fonction croissante du temps (di / dt > 0). La bobine MN est le siège d'une f.e.m. auto-induite de signe négatif qui vient diminuer l'influence de la f.e.m E > 0 du générateur PN. L'intensité du courant est, pendant la phase transitoire, plus faible que dans la lampe 1.

La loi des tensions s'écrit E + e = (R + r) i. L'étude théorique du phénomène sera poursuivi au paragraphe 4. 


3- RELATIONS FONDAMENTALES POUR UNE BOBINE 


Commentons le tableau suivant :

(1)

(2)

(3) WAB = L.i ²AB

- L'inductance de la bobine s'exprime en Henry (H). Elle est définie par la relation (1).

- La relation (2) relie l'intensité du courant électrique à la tension. Elle est parfois appelée loi d'Ohm pour une bobine.

- L'énergie potentielle magnétique "stockée" par une bobine parcourue par un courant électrique d'intensité i est donnée par la relation (3).

 Remarques :

- En courant continu, = 0, la relation (2) uAB = r iAB + L se simplifie :

uAB = r iAB

Lorsque l'intensité du courant est constante, la bobine se comporte donc comme une résistance pure.

- Si la résistance r de la bobine est négligeable alors la relation (2) uAB = r iAB + L devient :

uAB = L = - eAB

 

4- PROBLEME : Dipôle L, R - Une bobine retarde l'établissement du courant dans un circuit.

 
Le phénomène d’auto-induction se manifeste chaque fois qu’un courant varie dans une bobine.

ENONCE.

 On considère le montage suivant :

· a- A la date t = 0, on relie K à P. Décrire brièvement ce qui va se passer.

Quel est le phénomène responsable du retard à l’installation du courant ? (c)

· b- Etablir l’équation différentielle reliant i = iAM à la date t. On appelle R la résistance totale du circuit. (c)

· c- Vérifier que est solution de cette équation différentielle.

Calculer la constante de temps t = du circuit. On donne R = 4,0 W , L = 120 mH. (c)

· d- Calculer la valeur de i aux dates 0, t , 5 t et pour t ® ¥ . On donne E = 12 V.

Tracer l'allure de la courbe donnant i en fonction de t.

Montrer que la constante de temps t = du dipôle L, R est égale à la date pour laquelle la tangente à la courbe, tracée à l'origine des temps, coupe l’asymptote horizontale.

Cette constante de temps t caractérise le retard à l'établissement du courant dans le circuit. (c)

· e- Calculer l’énergie magnétique "stockée" dans la bobine à la date t = 0 puis en régime permanent (pour t ® ¥). (c)


SOLUTION. 


· a- (e) Décrivons brièvement ce qui va se passer lorsque, à la date t = 0, on relie K à P.

Initialement, l'intensité du courant électrique est nulle. Lorsqu’on ferme le circuit, cette intensité augmente et fait croître le champ magnétique créé dans la bobine (voir la leçon 4). Celle-ci sera le siège d’une f.e.m. d’auto-induction qui, d'après la loi de Lenz, tend à s’opposer à ce qui l’a créée, c’est-à-dire qui tend à s’opposer à l’établissement du courant d’intensité i. Ce courant ne s'établit donc que progressivement (voir la courbe ci-dessous).


· b- (e) Etablissons l’équation différentielle reliant i = iAM à la date t.

La loi des tensions (maille PAMP) s’écrit :

uPA + uAM + uMP = 0

Exprimons chacune de ces tensions : uPA = 0 V uAM = R iAM + L (diAM / dt) uMP = - E

0 + R iAM + L (diAM / dt) – E = 0 (4)

Posons i = iAM, la relation (4) devient :

0 + R i + L - E = 0

L + R i = E (5)

C'est une équation différentielle du premier ordre, à coefficients constants, à second membre constant.


·
c-
(e) Vérifions que (6) est solution de l'équation L + R i = E (5) :

- Dérivons (6 bis) par rapport au temps.

On obtient :

(7)

- Exprimons L + R i . On obtient, après simplification :

L + R i = E (5).

Conclusion :

La relation (6) est bien solution de l'équation L + R i = E (5)

- Calculons la constante de temps t = du circuit :

t = = 0,120 / 4 = 0,030 s (8)

 

· d- (e) Allure de la courbe donnant i en fonction de t :

Calculons quelques valeurs données par l'équation (6) :

Si t0 = 0 s alors i0 = ´ (1 – e – 0) = (12 / 4) (1 – 1) = 3 ´ 0 = 0 A

Si t1 = t = alors i1 = ´ (1 – e – 1) = 3 ´ ( 0,63 ) = 1,89 A

Si t5 = 5 t = 5 alors i5 = ´ (1 – e – 5) = 3 A

Si t ® ¥ alors i ® imax = ´ (1 – 0) = 3 (1 – 0) = 3 A. On a une asymptote horizontale.

- Après une durée égale à t, l'intensité du courant atteint 63 / 100 de sa valeur maximale.

- Après une durée voisine de 5 t, on peut considérer que le régime transitoire cesse et que le régime permanent imax = = 3 A est pratiquement atteint.

Remarque : En régime permanent (i = 3 A = constante, = 0) la relation :

(5) L + R i = E se simplifie et s'écrit :

0 + R i régime permanent = E

Cette dernière relation donne bien :

i régime permanent = = 3 A

Allure de la courbe

Propriétés de la constante de temps t

- La tangente à l'origine des temps a pour pente ()0 = .

Son équation est i = t (9).

- D'après l'équation (6) si t tend vers l'infini alors i tend vers .

L'asymptote est une droite horizontale d'équation i = (10).

- Les coordonnées du point d'intersection H de cette asymptote et de la tangente à l'origine satisfont à :

i = t (9) et à i = (10) soit :

iH = (10) et tH = (11)

On voit que tH = est bien égal à la constante de temps t = du dipôle inductance-résistance.

La constante de temps t = du dipôle L, R est égale à la date pour laquelle la tangente à la courbe, tracée à l'origine des temps, coupe l’asymptote horizontale.

Plus t est grand, plus le courant est long à s'établir dans le circuit.


·
e-
(e) Calculons l’énergie magnétique stockée dans la bobine à la date t = 0 puis pour t ® ¥ (régime permanent)

Si t = o s alors W0 = 0 Joule (12)

Si t ® ¥ alors Wmax = L i²max = 0,5´ 0,12´ 3² = 0,54 J (13)

Cette énergie magnétique est une énergie potentielle mise en réserve dans la bobine.

 
5- RAPPEL : Loi de Pouillet pour un circuit série. Puissance électrique reçue ou donnée par un dipôle.

 · Un sens positif étant choisi pour i, la force électromotrice e du dipôle étudié est positive si ce dipôle tend à faire circuler un courant dans le sens positif.

Sur le schéma ci-dessus e1 = 6 V et e2 = - 12 V.

· Dans ce circuit série on écrit la loi de Pouillet :

soit :

i = - 0,5 A

La loi des tensions uAB + uBC + uCD + uDA = 0 appliquée à la maille ABCDA donnerait le même résultat.

Remarque :

iAB = iBC = iCD = iDA = i = - 0,5 A

iBA = iAD = iDC = iCB = + 0,5 A

· Calculons les puissances électriques reçues par les différents dipôles :

pAB = uAB ´ iAB = - 6 ´ (- 0,5) = 3 Watt

pDA = uDA´ iDA = 12 ´ (- 0,5)

pBC = uBC´ iBC = rBC ´ iBC ´ iBC = rBC ´ i2BC = 4 ´ (- 0,5)2 = 1 W

pCD = uCD´ iCD = rCD ´ iCD ´ iCD = rCD ´ i2CD = 8 ´ (- 0,5)2 = 2 W

pAB = + 3 Watt (le dipôle AB est récepteur car pAB est positif, le dipôle AB reçoit de la puissance électrique)

pDA = - 6 W (le dipôle DA est générateur car pDA est négatif, le dipole DA donne de la puissance électrique)

pBC = 1 W (récepteur)

pCD = 2 W (récepteur)

Dans le circuit entier : pAB + pBC + pCD + pDA = 0

Si AB et DA sont deux batteries, on peut dire que DA fonctionne en générateur (elle donne de l'énergie électrique qu'elle puise dans sa réserve chimique) alors que AB fonctionne en récepteur (elle reçoit de l'énergie électrique qu'elle transforme en énergie chimique). La batterie AB, récepteur, se charge alors que la batterie DA, générateur, se décharge.

Les dipôles BC et CD sont deux conducteurs ohmiques (résistances) qui reçoivent de l'énergie électrique qu'ils transforment en énergie calorifique.

· La loi d'Ohm algébrique uAB = r iAB - eAB est valable pour un générateur ou un récepteur (eAB est positif si le dipôle AB, placé seul dans le circuit, est traversé par un courant allant de A vers B)

Par exemple, ici, avec i = iAB = iBC = iCD = iDA = - 0,5 A, et par extension iCDA = - 0,5 A ou iCBA = + 0,5 A, on peut écrire :

eAB = + 6V

Si le dipôle AB était seul dans le circuit, le courant irait de A vers B dans ce dipôle AB.

eDA = - 12 V

Si le dipôle DA était seul dans le circuit, le courant irait de A vers D dans ce dipôle DA.

eCA = - 12 V (Partie CDA)

Si le dipôle CA était seul dans le circuit, le courant irait de A vers C dans ce dipôle "CDA".

eCA = - 6 V (Partie CBA)

Si le dipôle CA était seul dans le circuit, le courant irait de A vers C dans ce dipôle "CBA".

uAB = r iAB - eAB

uAB = 0 - 6

uAB = - 6V

uDA = r iDA - eDA

uDA = 0 - (- 12)

uDA = + 12 V

uCA = r iCDA - eCA

uCA = 8 ´ (- 0,5) - (- 12)

uCA = + 8 V

uCA = r iCBA - eCA

uCA = 4 ´ (+ 0,5) - (- 6)

uCA = + 8 V

 

A VOIR :

Problème résolu ci-dessus : Dipôle LR. Une bobine retarde l'établissement du courant dans un circuit.

Problème n° 16 A (à résoudre) : Retard à l'établissement d'un courant.

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