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OSCILLATIONS ELECTRIQUES LIBRES NON AMORTIES OU AMORTIES - leçon n° 17

 

Cette leçon comporte trois paragraphes.


1- RAPPELS

 

Unités :

La résistance R du conducteur ohmique est en ohm (W).

La charge q est en coulomb (C).

Le coefficient d'auto-inductance L de la bobine est en henry (H).

La puissance p est en watt (W).

La capacité C du condensateur est en farad (F).

L'énergie W est en joule (J).

L'intensité du courant i est en ampère (A).

Le temps t est en seconde ( .

La tension u est en volt (V).

 

2- OSCILLATIONS LIBRES NON AMORTIES DíUN CIRCUIT L, C ( résistance nulle)


Le montage suivant constitue un oscillateur électrique L, C. En l'absence de résistance on dit que l'oscillateur est non amorti. Etudions ce qui se passe lorsque, après avoir chargé le condensateur, on le relie à la bobine d'inductance L.

· Le condensateur est initialement chargé.

L'armature A porte la charge Qmax positive, l'armature B porte la charge - Qmax.

L'énergie potentielle initialement stockée par le condensateur sous forme électrostatique est :

WAB = Q2max / C ( 1)

· A la date t = 0, on relie le condensateur chargé à la bobine.

 

 

La loi des tensions síécrit :

uAM + uMB + uBA = 0 (maille AMBA) (2)

Exprimons ces différentes tensions : uAM = L diAM / dt uMB = 0 V uBA = qB / C

Portons ces valeurs dans l'équation (2) :

(2 bis)

Posons :

i = iAM = iMB = iBA = (3)

En dérivant (3) par rapport à t :

= (3 bis)

Portons (3 bis) dans la relation (2 bis) :

(4) ou encore :

L'équation (5) est une équation différentielle du second ordre, à coefficients constants, sans second membre.

· La solution de cette équation différentielle (5) est :

q B = Qmax sin ( w 0 t + j ) (7)

On peut le vérifier facilement en calculant :

B = w 0 Qmax cos ( w 0 t + j ) puis B = - w 02 Qmax sin ( w 0 t + j )

On en déduit bien que :

- La pulsation propre de ces oscillations électriques libres non amorties est :

(8)

- La période propre est To = 2 p / w0 soit :

(9)

- La fréquence propre des oscillations est No = 1 / To.

- L'intensité du courant électrique est :

i = i BA = dq B / dt = w 0 Qmax cos ( w 0 t + j ) (10)

Remarque : Trois constantes w 0, Qmax et j interviennent dans la solution q B = Qmax sin ( w 0 t + j ) (7).

- w 0 est la pulsation propre au circuit. Elle ne dépend que du circuit par L et C :

(8)

- Qmax et j se déterminent à partir de deux données, en général les valeurs de q B (7) et i (10) à l'instant initial (voir le problème 17 A).

· En l'absence de résistance, l'énergie électromagnétique du circuit se conserve. Cela s'écrit :

(11)

Cette énergie, initialement stockée dans le condensateur, passe progressivement dans la bobine puis de la bobine dans le condensateur et le cycle recommence.

- On peut retrouver líéquation différentielle (4) en écrivant que l'énergie électromagnétique du circuit se conserve (voir le problème 17 B).

· Conclusion : En l'absence de résistance, les oscillations électriques libres d'un circuit L,C sont donc sinusoïdales, de période propre :

 

3- OSCILLATIONS LIBRES AMORTIES DíUN CIRCUIT L, C AVEC RESISTANCE R


·
En présence de résistance R líénergie électromagnétique stockée dans C et L diminue car elle est dissipée en chaleur dans la résistance par effet Joule (voir paragraphe 3).

La loi des tensions appliquée à la maille AMBA conduit à (12)

La solution mathématique de l'équation (12) est hors programme. Seule líallure, évidente, des courbes est à connaître :

Remarque : En présence de résistance, on peut néanmoins entretenir des oscillations électriques d'amplitude constante avec un montage à amplificateur opérationnel. Ce montage est chargé de redonner au circuit R, L, C l'énergie consommée dans la résistance R par effet Joule.(voir la leçon 19)

 

A VOIR :

Problème résolu n° 17 A : Charge d'un condensateur - Décharge oscillante

Problème n° 17 B (à résoudre) : Oscillations électriques libres. Analyse dimensionnelle.

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