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  PROBLEME RESOLU n° 17-A : Charge d'un condensateur - Décharge oscillante (Bac 1996)

 

ENONCE

 

· 1- Un condensateur de capacité C = 33 m F est chargé avec un générateur de tension réglé sur U = 10 V.

Calculer la charge Q0 et l'énergie E0 emmagasinée par ce condensateur. (c)


·
2-
Ce condensateur chargé est déconnecté du générateur puis relié aux bornes d'une bobine d'inductance L = 120 mH. Dans cette question on suppose nulle la résistance du circuit. On observe ce qui se passe à l'aide d'un oscilloscope.

a- Faire un schéma du montage. Dessiner qualitativement la figure observée sur l'écran de l'oscilloscope. (c)

b- Donner une interprétation énergétique du phénomène. (c)

c- Etablir l'équation différentielle vérifiée par la tension instantanée aux bornes du condensateur. On précisera les conventions. (c)

d- Le circuit constitué par la bobine et le condensateur portant la charge Q0 a été fermé à l'instant pris comme origine des temps t = 0.

Déterminer l'expression de la charge instantanée du condensateur en fonction du temps et des grandeurs L et C des composants. (c)

e- Calculer les valeurs maximale et efficace de l'intensité du courant. (c)

f- Calculer la période propre T0 des oscillations électriques. (c)


·
3-
En réalité la bobine possède une inductance L mais aussi une résistance r.

a- La tension aux bornes du condensateur est enregistrée avec un oscilloscope spécial à mémoire qui permet la visualisation d'un phénomène qui ne se produit qu'une fois.

Pourquoi a-t-on besoin d'un tel appareil ?

Donner une interprétation énergétique du phénomène. (c)

b- La courbe obtenue avec la sensibilité horizontale 10 ms / division est reproduite ci-dessous (figure 1).

Comparer la pseudo-période T et T0. Calculer l'énergie calorifique dégagée dans r après 1 oscillation. (c)


figure 1

 SOLUTION


· 1- (e) Charge du condensateur

Calculons la charge du condensateur et l'énergie qu'il emmagasine.

Comme la résistance du circuit est nulle, la charge du condensateur est instantanée.

Cette charge est qA = C ´ UAB = C ´ U = 33 ´ 10 - 6 ´ 10 soit :

qA = Q0 = 3,3 ´ 10 - 4 C (1)

 L’énergie emmagasinée est :

Eo = C U² = ´ 33 ´ 10 - 6 ´ 102 = 16,5 ´ 10 - 4 J

E0 = 1,65 ´ 10 - 3 J (2)

Remarque : On rappelle que qB = - qA


· 2- Oscillations électriques libres non amorties


a-
(e) Le montage peut être schématisé de la façon suivante (figure 2) :

figure 2

La tension aux bornes du condensateur évolue sinusoïdalement (figure 3) :


figure 3

 

b- (e) Interprétation énergétique du phénomène :

Initialement, toute l’énergie est sous forme électrique dans le condensateur. Quand le condensateur se décharge, il transfère son énergie à la bobine qui la stocke sous forme magnétique. La bobine retransmet cette énergie au condensateur et ainsi de suite.

Il y a échange entre l’énergie électrique du condensateur et l’énergie magnétique de la bobine. En l’absence de résistance, cet échange se fait sans perte. L'énergie totale reste constante. A chaque instant, on a :

(3)

 

c- (e) Etablissons l'équation différentielle vérifiée par la tension instantanée u = uAB aux bornes du condensateur.

figure 2

La loi des tensions appliquée à la maille AMBA s’écrit :

uAM + uMB + uBA = 0 (maille AMBA) (4) soit

(5)

Mais on sait que :

qB = CuBA (7) et que :

i = iAM = iBA = (8)

Dérivons l'intensité du courant électrique i par rapport au temps t :

(9)

Portons les relations (7) et (9) dans (5). On obtient :

(10)

ou encore, en posant u = uAB = - uBA :

(11)

Finalement :

(12)

L'équation (12) est une équation différentielle du second ordre, à coefficients constants, sans second membre.


d-
(e) Déterminons l'expression de la charge instantanée du condensateur.

Comme u = uAB = qA / C = q / C (13), la relation (12) s’écrit aussi :

(14)

Cette équation différentielle a pour solution :

q = qA = Qmax cos ( w 0t + j ) (15) en posant :

(16) (la pulsation propre)

L'intensité du courant électrique s’écrit i = iBA = - iAB = - dqA / dt = - dq / dt obtenu à partir de (15).

i = w 0 Qmax sin ( w 0t + j ) (17)

A l’instant t = 0 s on a q = Q0 = 3,3 ´ 10 - 4 C et i = 0 A. Portons dans (15) et (17)  :

Q0 = Qmax cos ( j ) (15 bis)

0 = w 0 Qmax sin ( j ) (17 bis)

On obtient :.

sin ( j ) = 0

Q0 = Qmax cos ( j ).

Il semble y avoir deux solutions :

j1 = 0 avec Q1max = Q0 (18)

j2 = p avec Q2max = - Q0 (19)

La relation (15) q = Qmax cos ( w 0t + j ) donne alors :

q1 = Q0 cos ( w 0t + 0 )

q2 = - Q0 cos ( w 0t + p )

En fait ces deux solutions sont identiques car :

- Q0 cos ( w 0t + p ) = Q0 cos ( w 0t + 0 )

On peut donc retenir :

q = Q0 cos ( w 0t + 0 ) (20) avec :

Q0 = 3,3 ´ 10 - 4 C (1)

(21)

Finalement :

q = qA = 33 ´ 10 - 5 ´ cos ( 502,2 t ) (22)

 

e- (e) Calculons les valeurs maximale et efficace de l'intensité du courant

L’intensité du courant est i = dqB / dt = - dqA / dt = - dq / dt = w 0 Q0 sin ( w 0t ) (23)

Sa valeur maximale est :

Imax = w 0 Q0 = 502,5 ´ 33 ´ 10 – 5 = 0,166 A (24)

Sa valeur efficace est :

I = = 0,117 A (25)

 

f- (e) La période propre des oscillations est :

To = 2 p / w 0 = 0,0125 s (26)

Les valeurs C = 33 m F et L = 120 mH (énoncé) permettraient de retrouver la valeur numérique de To en utilisant l'expression :


· 3- Oscillations électriques libres amorties par la résistante r.


a-
(e) Utilité d'un oscillographe à mémoire.

Chaque échange d’énergie entre le condensateur et la bobine s’accompagne d’une perte d’énergie calorifique dans la résistance.

Ceci se traduit par une diminution de l’amplitude de la tension u. On a un régime pseudo-périodique. Les oscillations disparaissent vite. Il faut un oscilloscope qui mémorise l’évolution de u afin de pouvoir exploiter l’enregistrement.

 

figure 1

b- (e) Comparons la pseudo-période T et la période propre T0.

- La sensibilité horizontale est de 10 ms / div

- Sur le graphe ci-dessus, on mesure une pseudo période :

T = 1,3 div ´ 10 ms / div = 0,013 s (27)

Cette pseudo-période T est proche de la période propre T0 = 0,0125 s..

- A la date t = 0 s, la tension u du condensateur vaut u0 = 10 V (28) (voir la figure 1).

Le condensateur possède alors l'énergie E0 = 6,6 ´ 10 - 4 J (2)

La bobine ne possède aucune énergie car, à t = 0, l'intensité du courant est nulle et Wbobine = L i² = 0 J (29)

- Après 1 pseudo-oscillation, la tension du condensateur ne vaut plus que u1 = 5 V (30) (voir la figure 1).

Le condensateur possède alors l’énergie E1 = C u12 = 4,12 ´ 10 – 4 J (31)

La bobine ne possède aucune énergie car à t = T , l'intensité est nulle et Wbobine = L i² = 0 J (32)

- Après une oscillation la perte d’énergie du circuit est :

E0 – E1 = 1,65 ´ 10 - 3 - 4,12 10 – 4 = 1,24 ´ 10 – 3 J (33)

C’est la résistance r qui, par effet Joule, a dégagé cette énergie sous forme calorifique.

 

A VOIR :

Problème résolu n° 17 A ci-dessus : Charge d'un condensateur - Décharge oscillante.

Problème n° 17 B (à résoudre) : Oscillations électriques libres. Analyse dimensionnelle.

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