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  PROBLEME RESOLU n° 18-A : Circuit R, L, C à la résonance (Bac 1996)

 

ENONCE

 
On étudie les oscillations électriques forcées d’un circuit branché aux bornes d’un générateur sinusoïdal de tension, de fréquence F réglable et muni d’un fréquencemètre (appareil permettant de mesurer la fréquence)

Ce circuit comporte, disposés en série :

- une résistance R = 100 W

- une bobine assimilée à une résistance r en série avec une inductance pure L = 0,2 H

- un condensateur de capacité C.

L’intensité instantanée du courant dans le circuit est i = I cos ( 2 p F t ) et la tension instantanée imposée par le générateur entre ses bornes est u = U cos ( 2 p F t + j ).

U et I sont des grandeurs efficaces directement lues sur un voltmètre et un ampèremètre usuels.

On conserve le réglage U = 2,8 V et on relève les valeurs de I lorsque F varie ce qui donne la courbe de la figure 1.

On souhaite observer sur l’écran d’un oscilloscope :

- la tension instantanée u (t) aux bornes du générateur sur la voie A,

- la tension instantanée u R (t) aux bornes de R sur la voie B.


· 1 Montage.

Faire le schéma du circuit en précisant la place de l’ampèremètre et les connexions de l’oscilloscope. (c)


· 2 Bande passante à 3 dB.

a - Pour Fo = 503 Hz, l’intensité efficace prend sa plus grande valeur Io = 21,4 mA.

Comment ce phénomène s’appelle-t-il ?

Rappeler sans démonstration la relation liant Fo, L et C.

Calculer la valeur de C. (c)

b - Rappeler ce qu’on appelle bande passante en fréquence notée B (ou D F) à 3 dB.

Quelle est la signification du facteur de qualité Q du circuit ? On rappelle que Q = Fo / B.

Déterminer les valeurs numériques de B et de Q pour le circuit étudié.

Comment ces deux grandeurs varient-elles quand la résistance totale R + r augmente ? (c)


· 3 Résistance totale du circuit - Tensions observées sur l’oscilloscope.

a- Calculer la résistance totale du circuit. En déduire la résistance r de la bobine. (c)

b- On se place à la résonance. Dessiner les tensions observées sur l’oscilloscope avec les sensibilités suivantes : - sensibilité horizontale 0,5 ms / div ;

- sensibilité verticale 1 V / div sur les deux voies A et B.

L'écran est un rectangle de côté horizontal 10 divisions et de côté vertical 8 divisions. (c)

 figure 1 


SOLUTION


· 1
(e) Montage.

Le montage peut être schématisé de la façon suivante :

figure 2

Sur la voie A on observe la tension instantanée u = uAM aux bornes du générateur.

Sur la voie B on observe la tension instantanée u R = uBM = R ´ iBM = R ´ i aux bornes du conducteur ohmique de résistance R.


·
2
Bande passante à 3 dB.


a-
(e) Sur la figure 1 on voit que pour Fo = 503 Hz, l’intensité efficace prend sa plus grande valeur Io = 21,4 mA.

 C'est le phénomène de résonance d'intensité. Cela se produit lorsque la fréquence F de la tension délivrée par le générateur est égale à la fréquence propre Fo du circuit :

Fo = 1 / To avec soit :

On en déduit, après avoir élevé au carré les deux membres de l'éqution :

(1)

Avec L = 0,20 H et Fo = 503 Hz, on obtient :

C = 5,0 ´ 10 - 7 F = 0,50 mF  (2)

 

b- (e) La bande passante à 3 dB notée B (ou D F) est définie par l'ensemble des fréquences comprises entre f1 et f2 pour lesquelles l’intensité efficace I du courant reste supérieure à où Io désigne la valeur à la résonance.

Sur la figure 3 on trace une droite d'ordonnée = 21,4 / 1,41 = 15,1 mA.

On lit la différence des abscisses des points d'intersection de cette droite avec la courbe de résonance. On en déduit la largeur de la bande passante :

B = Df = f2 - f1 = 553 - 452 = 101 Hz (3) (voir la figure 3)

figure 3

Le facteur de qualité est :

Q = Fo / Df = Fo / (f2 - f1) = 503 / 101 = 5 (4)

Q caractérise l'acuité de la résonance. Si Q est grand la résonance est aiguë, si Q est petit la résonance est floue.

- Si la résistance totale du circuit r + R augmente :

- la fréquence de résonance reste la même

- la bande passante Df = f2 - f1 augmente

- le facteur de qualité Q = Fo / Df diminue

Remarque : On peut montrer que :

.

Cette expression confirme bien que Q diminue lorsque la résistance totale augmente. 


· 3
Résistance totale du circuit - Tensions observées sur l’oscilloscope.


a-
(e) Calculons la résistance totale du circuit puis la résistance r de la bobine.

A la résonance d’intensité l’impédance totale du circuit ZAM se réduit à R + r (l’effet de C compense L) :

Z0 (AM) = UAM / Io = R + r

Z0 (AM) = 2,8 / 0,0214 = R + r

La résistance totale du circuit est :

R + r = 130,8 W (5)

Comme R = 100 W on en déduit que la valeur de la résistance r de la bobine est :

r = 130,8 - 100 = 30,8 W (6)

 

b- (e) Dessinons, à la résonance, les tensions observées sur l’oscilloscope.

Les sensibilités de l'oscilloscope sont les suivantes :

- sensibilité horizontale 0,5 ms / div ;

- sensibilité verticale 1 v / div sur les deux voies A et B.

Sur l'écran on observe uBM = R i = 100 i et uAM = u (tension délivrée par le générateur BF).

A la résonance uAM et i sont en phase, de même que uAM et uBM = 100 i (voir la leçon18).

Calculons la période propre To :

To = 1 / Fo = 1/ 503 = 0,00198 s » = 0,002 s = 2 ms représentés sur l'écran par 4 divisions horizontales.

- A la tension instantanée uAM sont associées :

UAM (efficace) = 2,8 V (énoncé)

UAM (max) = 2,8 ´ = 4 V représentés sur l'écran par 4 divisions verticales.

- A la tension instantanée uBM = R i = 100 i sont associées :

U BM (efficace) = 100 ´ I (efficace) = 100 ´ 0,0214 = 2,14 V

U BM (max) = 2,14 ´ = 3 V représentés sur l'écran par 3 divisions verticales.

Dessinons les tensions instantanées observées sur l'écran : uAM (en pointillés) et uBM (trait plein) :

figure 4

sensibilité verticale :

1 v / div sur les deux voies

sensibilité verticale :

1 v / div sur les deux voies

sensibilité horizontale :

0,5 ms / div

uAM (max) = 4 div ´ 1 V / div = 4 V

uBM (max) = 3 div ´ 1 V / div = 3 V

To = 4 div ´ 0,5 ms / div = 2 ms
 

 

A VOIR :

Problème résolu n° 18 A ci-dessus : Circuit R, L, C à la résonance (Bac 1996).

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