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MODELISATION DES OSCILLATEURS - leçon n° 19

 
Cette leçon comporte trois paragraphes.


1- OSCILLATEURS LINEAIRES NON AMORTIS


Comparons l'oscillateur électrique et l'oscillateur mécanique non amortis. On sait que l'énergie du système inductance-condensateur ou du système solide-ressort est alors constante. Il n'y a pas dissipation d'énergie de l'oscillateur vers l'extérieur sous forme calorifique.

 

OSCILLATEUR ELECTRIQUE NON AMORTI

OSCILLATEUR MECANIQUE NON AMORTI

Schéma avec sens positif de B vers A

Absence de résistance

Schéma avec axe orienté vers la droite

Absence de force de frottement

La loi des tensions (maille AMBA) s'écrit (voir la leçon 17) :

uAM + uMB + uBA = 0 (maille AMBA)

(1)

Posons i = iAM = iMB = iBA = (2)

Portons (2) dans la relation (1) :

(3) ou encore :

 

Le théorème du centre d'inertie s'écrit (voir la leçon 14) :

m = + + (1bis)

m = - K.x + 0 + 0 (2bis)

m + K.x = 0 (3bis)

+ w02 x = 0 (4bis) avec w02 = K/m (5bis)

 

 

 

 

 

 · Les équations différentielles (4) et (4bis) ont la même forme :

pour l 'oscillateur électrique.

+ w02 x = 0 (4bis) avec w02 = K / m (5bis) pour l'oscillateur mécanique.

· Les solutions des équations (4) et (4bis) sont semblables :

q B = Qmax cos ( w 0 t + j ) (6) avec la période propre = 2p / w 0 pour l'oscillateur électrique.

x = Xmax cos ( w0 t + j ) (6bis) avec la période propre = 2p / w0 pour l'oscillateur mécanique.

· La période propre T0 ne dépend que du montage expérimental. Par contre l’amplitude et la phase dépendent des conditions de mise en oscillation (conditions initiales). Généralement, on les détermine en exprimant à la date t = 0 les grandeurs x(0) et v(0) pour l'oscillateur mécanique ou bien q(0) et i(0) pour l 'oscillateur électrique.

 
2- OSCILLATEURS LINEAIRES AMORTIS.


En présence d'un facteur d'amortissement, résistance pour l'oscillateur électrique, force de frottement pour l'oscillateur mécanique, l'énergie du système diminue. Elle se transforme en chaleur dissipée vers le milieu extérieur. Comparons les deux oscillateurs.

La solution mathématique de l'équation (7) est hors programme. Donnons une solution graphique :

 

Remarque : Si le coefficient A de l'équation (7) ci-dessus est positif (A > 0) l'amplitude diminue (cas de frottement mécanique pour l'oscillateur mécanique ou de résistance électrique pour l'oscillateur électrique). A < 0 correspondrait à une augmentation de l'amplitude ! (voir le paragraphe suivant)


3- ENTRETIEN DES OSCILLATIONS. MONTAGE A RESISTANCE NEGATIVE (allègement de programme pour le bac 2002)


Le montage suivant permet d'entretenir des oscillations quasi sinusoïdales dans le circuit r, L, C malgré la présence de la résistance r. Nous allons montrer que la partie ABM du circuit permet de compenser r si on choisit Ro = r.

· Rappel :

Pour un amplificateur opérationnel supposé idéal I - = 0 A et I + = 0 A. (8)

De plus, en régime linéaire (non saturé), on a U E+ E- = 0 V. (9)

Nous supposerons ces conditions réalisées ci-dessous.

L'alimentation de l'amplificateur opérationnel n'est pas représentée sur le schéma.

 

· Sur ce schéma, on lit :

uAS = R1 i

uSB = R1 i'

uBA = U E+ E- = 0

uAB = - uBA = 0

uMD =

uDF = L = L

uFA = r i

uBM = Ro i'

· La loi des tensions appliquée à la maille ASBA s'écrit :

uAS + uSB + uBA = 0

R1 i + R1 i' + 0 = 0

On en déduit : i' = - i (10)

· La loi des tensions appliquée à la maille MDFABM s'écrit :

uMD + uDF + uFA + uAB + uBM = 0

+ L + r i + 0 + Ro i' = 0 (11). Tenons compte de la relation (10)

+ L + r i - Ro i = 0 (12)

Dérivons cette équation par rapport au temps t :

+ L + (r - Ro) = 0

Tenons compte du fait que = iMD = i (13)

i + L + (r - Ro) = 0

L + (r - Ro) + i = 0

+ + i = 0 (14)

+ + w02 i = 0 (15) en posant encore w02 = (5)

· Si la résistance réglable Ro est choisie égale à la résistance r du circuit r, L, C l'équation (15) devient :

+ w02 i = 0 (16) avec w02 = (5)

On retrouve une équation différentielle semblable à l'équation (4) ci-dessus.

La solution de (16) est une fonction sinusoïdale :

i = imax cos ( w 0 t + j ) (6) avec la période propre = 2p / w 0.

Des oscillations sinusoïdales sont entretenues dans le circuit malgré la présence de r.

· La portion de circuit ABM se comporte comme une "résistance négative". En effet :

uAB + uBM = 0 + Ro i' . Soit d'après (10) i' = - i

uAB + uBM = uAM = - Ro i

· Remarque : La puissance électrique r i ² reçue par r (et perdue sous forme calorifique) est fournie par la résistance négative - Ro i ² (en fait par l'alimentation de l'ampli-op, non représentée sur le schéma ci-dessus).

Grâce à cet apport d'énergie de l'alimentation vers l'oscillateur, l'énergie totale stockée dans L et C reste constante malgré la présence de la résistance. Il continue à y avoir échange continuel d'énergie entre le condensateur et l'inductance au cours des oscillations.

Compléments : (coefficient A non constant - Régime non linéaire )

Une étude plus précise de l'expérience précédente peut-être faite (hors programme en T S) :

· Amorçage des oscillations : On donne à R0 une valeur un peu supérieure à r.

Remarque préliminaire : Les oscillations prennent naissance grâce à de très petits mouvements aléatoires des électrons libres dans le métal constituant la résistance. Ces très petites oscillations d'électrons (dues à l'agitation thermique) existent dans tout conducteur, même non relié à un générateur.

Pour t = 0 s l'intensité du courant est voisine de 0 A.

L’ampli-op n’est pas saturé : uAM = - R0 i. L'étude faite ci-dessus conduit à :

+ + w02 i = 0 (15) avec w02 = (5)

+ A + w02 i = 0 (16) en posant A = (17)

A < 0, l’amplitude de i croît.

L'amplitude des oscillations ne peut pas croître indéfiniment. Le moment vient où la valeur instantanée de l'intensité du courant est telle que l'A.O. est saturé.

· Saturation de l’ampli-op : Lorsque l'ampli-op est saturé on a uAM = uAS + uSM = R1 i ± VSat

On montre alors que :

+ + w02 i = 0 (18) avec w02 = (5)

+ A + w02 i = 0 (19) en posant A = (20)

A > 0, l’amplitude de i décroît jusqu’à ce que l’ampli-op repasse en régime non saturé mais avec de "nouvelles conditions initiales". Ainsi de suite …

On montre dans l'enseignement post baccalauréat que ce type de basculements successifs entre A < 0 (16) et A > 0 (19) conduit à un système stable d'oscillations. Cet oscillateur non linéaire se rapprochera d'un oscillateur donnant un régime permanent quasi sinusoïdal si Ro est très voisin de r.

· Remarque : L’équation de Van der Pol a été introduite pour étudier les oscillateurs non linéaires. Lorsque x est petit, le coefficient A est négatif. Lorsque x dépasse la valeur xo, A devient positif. L'étude peut être faite sur ordinateur mais elle n'est pas explicitement au programme de la classe de terminale S.

 

A VOIR :

Problème résolu n° 19 A : Oscillateur mécanique amorti (Bac)

Problème n° 19 B (à résoudre) : Principe de l'entretien des oscillations (Bac) (allègement de programme pour le bac 2002)

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