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  PROBLEME RESOLU n° 19-A : Oscillateur mécanique amorti (Bac)

 

ENONCE

 
Un corps de masse m forme un anneau autour d'une tige horizontale x'x sur laquelle il peut se déplacer. Un ressort de raideur k, placé autour de la tige, est fixé à celle-ci par une de ses extrémités et, par l'autre, au corps de masse m
. Soit 0 la position du centre d'inertie du corps à l'équilibre. Il existe des frottements. On admettra qu'ils se réduisent à une force = - h désigne la vitesse instantanée du corps de masse m. Le coefficient h est positif.


· 1-
Etablir l'équation différentielle caractéristique du mouvement du corps. (c)


· 2-
Quelle est la nature de ce mouvement ? Donner l'allure de x (t) selon la valeur du coefficient d'amortissement. (c)


· 3-
Energie de l'oscillateur.

a) Donner l'expression de l'énergie mécanique de l'oscillateur. (c)

b) Etablir la relation entre la dérivée de l'énergie mécanique par rapport au temps et la puissance de la force de frottement. (c)

c) Commenter cette relation en termes de transferts d'énergie. (c)


· 4-
A l'aide d'une interface reliée à un ordinateur. on a relevé une tension u proportionnelle à x(t) .

L'ordinateur est programmé de telle sorte qu'à 1 volt corresponde 1 cm.

A partir du graphique ci-dessus :

a) Déterminer les conditions initiales imposées à cet oscillateur. (c)

b) Calculer la pseudo-période. (c)

c) Déterminer l'énergie mécanique Em de l'oscillateur à chaque passage par un extremum négatif de x (se limiter aux quatre premiers).

Que peut-on dire du rapport (Em) i / (Em) i + 1 ? (c)

Donnée : k = IO N/m


SOLUTION


· 1- (e) Etablissons l'équation différentielle du mouvement du corps.

Raisonnons sur le schéma ci-dessous :

· Référentiel Galiléen : le solide Terre.

· Repère orthonormé associé : O,

· Système étudié : le solide de masse m.

· Le solide est soumis à 4 forces :

- (essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le mobile)

- (action normale de la tige sur le mobile)

- (action du ressort sur le mobile)

- (force de frottement fluide/mobile)

· Appliquons le théorème du centre d'inertie :

Théorème du centre d'inertie (voir la leçon 6) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

Ici, ce théorème s'écrit :

+ + + = m (1)

· Notons que = K = - K (2) et que = - h (3)

+ - K - h = m (1 bis)

· Projetons (1 bis) sur le vecteur unitaire :

0 + 0 - K x - h = m

m + h + K x = 0 (4)

+ A + w02 x = 0 (5) avec :

w02 = K / m (6) (w0 est la pulsation propre).

A = h / m (7) (A est le coefficient d'amortissement).

· L'équation (5) est l'équation différentielle du mouvement du solide de masse m. C'est une équation différentielle du second ordre à coefficients constants.

Dans cette équation (5) figure le terme A qui correspond à la force de frottement = - h .


· 2-
(e) Nature du mouvement du corps.

Si A pouvait être nul le mouvement serait périodique.

Du fait de la présence de la force de frottement, le mouvement ne peut pas être périodique.

Si A est faible le mouvement du solide est pseudo-périodique.

Si A est fort le mouvement du solide est apériodique.

Remarque : Il existe un amortissement dit "critique" qui assure un retour vers la position d'équilibre plus rapide que les régimes apériodiques ou pseudo-périodiques. Son étude est hors programme.


· 3-
Etudions l'énergie mécanique Em du système (ressort + solide) :


a)
(e) L'énergie mécanique du système (ressort + solide) est :

Em = Epotentielle du ressort + Ecinétique de la masse m

Em = k x2 + m v2 = ( k x2 + m ) (8)

 

b) (e) Etablissons la relation entre la dérivée de l'énergie mécanique par rapport au temps et la puissance de la force de frottement.

Dérivons Em par rapport au temps :

d Em / dt = k x. + m . = ( k x + m ) (9)

Utilisons la relation m + h + K x = 0 (4)

(10) d Em / dt = ( - h ) = fx vx = . = P (puissance développée par la force de frottement).

 

c) (e) Commentons cette relation en termes de transferts d'énergie

La puissance développée par la force de frottement P = d Em / dt = - h est toujours négative.

Le système (ressort + solide) perd de l'énergie mécanique. Cette énergie perdue est transformée en chaleur. 

 

· 4- Exploitation du graphique.

a) (e) Déterminons les conditions initiales imposées à cet oscillateur

A la date t = 0 s, le graphique donné par l'ordinateur permet de relever u(o) = 0 V. On en déduit qu'à la même date le solide de masse m passe par le point O d'abscisse nulle.

Que vaut alors sa vitesse V(o) ?

On sait que la vitesse est Vx = dx / dt. Sa valeur est donc donnée par la valeur du coefficient directeur de la tangente à la courbe donnant x en fonction de t.

Le graphe donne du / dt = - 6,6 V/s à la date t = 0 s

L'échelle est telle que 1 volt corresponde à 1 cm, on en déduit que Vx (0) = - 6,6 cm/s = - 0,066 m/s.

 A la date t = 0 s, on a :

- abscisse initiale x(0) = 0 m

- vitesse initiale V(0) = - 0,066 m/s (11)

 

b) (e) Calculons la pseudo-période T.

Le graphe montre que 10 s = 5 T.

La pseudo période est T = 2,0 s (12)

 

c) (e) L'énergie mécanique du système (ressort + solide) est donnée par Em = k x2 + m v2

A chaque extremum i, la vitesse est nulle. L'énergie mécanique s'écrit alors :

(Em) i = k x2i = 5 x2i (13)

Le rapport (Em) i / (Em) i + 1 est quasi constant.

 

A VOIR :

Problème résolu n° 19 A ci-dessus : Oscillateur mécanique amorti (Bac).

Problème n° 19 B (à résoudre) : Principe de l'entretien des oscillations (Bac)

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