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PROBLEME RESOLU n° 1-A : Techniques mathématiques

 

PARTIE 1


ENONCE :
 

 
Les relations suivantes sont-elles
possibles ou impossibles ? Corriger les relations incorrectes. (c)


SOLUTION :  

Examinons les cinq relations proposées :

· (énoncé) La relation (1) = - 20 N est impossible car la norme d’un vecteur est positive ou nulle.

On doit écrire = + 20 N = 20 N

· (e) La relation = - 5 (2) est possible.

· (e) La relation (3) = 30 m/s est impossible car un vecteur n’est pas égal à un nombre.

On doit écrire = 30 m / s

· (e) La relation (4) :

Si + = 0 alors = - et = - est doublement fausse car la somme de deux vecteurs n’est pas égale à un nombre. De plus une norme est toujours positive ou nulle.

Il faut écrire :

· (e) La relation (5) :

Si l’échelle est 1 div « 3 N alors = 5 div = 15 N est incorrecte.

Il faut écrire :

Si l’échelle est 1 div « 3 N alors = 5 ( div ) ´ 3 ( N / div ) = 15 N

En effet :

5 div correspondent à 15 N (1 div « 3 N d'après l'énoncé)

mais

5 div ne sont pas égales à 15 N.

 
PARTIE 2


ENONCE :
 
 


Un skieur de masse m = 80 kg est tracté,
à vitesse constante, sur la piste représentée ci dessous, par une perche qui exerce une force d’intensité 600 N. L’action totale de la piste sur le skieur est représentée par la force .

On donne :

 

a = 20°

 

b = 60°

 

g = 9,8 N / kg

 

OA = 300 m

 

 

· 1 - Calculer la dénivellation h = BA entre les points B et A. (c)


· 2
- Connaissant l'angle orienté = + 90° = + p /2 rad, calculer les angles orientés : (c)

 

3 - Calculer les valeurs numériques des coordonnées des forces et dans la base . (c)

 

· 4 - Cette base est associée au référentiel terrestre supposé Galiléen.

- Enoncer la réciproque du principe de l’inertie. (voir la leçon 6)

- Calculer les coordonnées de la force . Que vaut la force de frottement due aux aspérités de la piste et des skis ?

- Calculer la valeur des angles et . (c)

 

· 5 - Calculer les produits scalaires . puis . et enfin . . (c)

 

SOLUTION

 

· 1 -(e) Calculons la dénivellation h = BA entre les points B et A. Elle est égale à la dénivellation entre les points O et A

On a sin a = BA / OA .

On en déduit la dénivellation entre O et A soit :

BA = h = OA ´ sin a = 300 ´ sin (20°) = 103 m

h =103 m

 

· 2 - (e) Calcul d'angles orientés.

Afin de lire plus facilement la valeur des angles, il est souhaitable de tracer les forces à partir du point O :

= - 20° - 90° = - 110°

= 70° + 90° = 160°

= 60°

= - 30°

 

· 3 - (e) Calculons numériquement les coordonnées des forces et dans la base représentée sur le schéma.

 

· 4 - (e) Déterminons la force (action totale de la piste sur le skieur).

Référentiel Galiléen : le solide Terre. On lui associe le repère orthonormé (O, ).

Système étudié : le skieur.

Forces appliquées sur le skieur :

- Le poids (essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le skieur)

- La force (action totale de la piste sur le skieur)

- La force (action de la perche sur le skieur)

Appliquons la réciproque du principe de l’inertie, étudiée en classe de première (lexique) :

Si, dans un référentiel Galiléen, le centre d’inertie d'un système est, soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à ce système est nulle. (voir la leçon 6)

Ici, le skieur gravit la piste rectiligne à vitesse constante. On peut donc écrire :

- Projetons cette relation sur les axes :

Px + Fx + Rx = 0 ® - 268,1 + 300 + Rx = 0 ® Rx = - 31,9 N.

Py + Fy + Ry = 0 ® - 736,7 + 519,6 + Ry = 0 ® Ry = 217,1 N.

On en déduit :

- L’action totale de la piste se décompose en , action normale de la piste sur le skieur et en , action tangentielle de la piste sur le skieur (force de frottement) avec :

(voir le schéma)

De plus :

Rn = Ry = 217,1 N

R t = Rx = - 31,9 N (force de frottement)

- Calculons les angles demandés : 

Rx = ´ cos soit numériquement :

- 31,9 = 219,4 ´ cos ou encore :

cos = - 0,145 ce qui donne :

= 98,35°puis = 8,35° (voir le schéma)

 

· 5 - (e) Calculons les produits scalaires ( nous verrons plus loin, leçon 6, qu’ils représentent les travaux de ces forces durant le trajet )

Ici, la somme des travaux des forces extérieures appliquées au skieur est nulle car la vitesse reste constante (voir la leçon 6).

 
PARTIE 3


ENONCE :
 
 


· 1 - Montrer que x = Xm cos (w t + j ) (1) dans laquelle l’élongation x est fonction du temps t est solution de l’équation différentielle à coefficients constants et sans second membre :

+ w ².x = 0 (2) [ Xm, w et j sont des constantes ]. (c)


·
2
- L’équation horaire du mouvement libre non amorti d’un mobile accroché à l’extrémité d’un ressort vertical est :

x = 0,03 cos ( 4p t + p / 6 ) [ avec les unités internationales ]. (c)

Calculer l’amplitude Xm, la pulsation w, la période T = 2p / w , la fréquence f = 1 / T et la phase à l’origine des temps j .


·
3
- Déterminer l’élongation x2 et la vitesse v2 du mobile à la date t2 = 2 s (à la date t l’élongation est x, la vitesse est v = dx / dt). (c)

 
SOLUTION :


· 1
- (e) Montrons que x = Xm cos (w t + j ) est solution de + w ².x = 0.

A l'équation (1) x = Xm cos ( w t + j ) correspondent :

dx / dt = - w Xm sin ( w t + j )

d²x / dt² = - w ² Xm cos ( w t + j ) = - w ² x

Cette dernière équation s’écrit + w ².x = 0 (2).

La relation (1) est bien solution de l’équation différentielle (2) .


· 2
- (e) A l’équation horaire x = 0,03 cos ( 4p t + p / 6 ) correspondent :

- une amplitude Xm = 0,03 m

- une pulsation w = 4p rad / s

- une période T = 2 p / w = 0,50 s

- une fréquence f = 1 / T = 2 Hz.

A la date to = 0 s, la phase est j = p / 6 rad.


· 3
- (e) Déterminons l’élongation x2 et la vitesse v2 du mobile à la date t2 = 2 s.

L'élongation du mobile, à la date t, est x = 0,03 cos ( 4p t + p / 6 ).

Sa vitesse est v = dx / dt = - 4p ´ 0,03 sin ( 4p t + p / 6 ).

A la date t2 = 2 s, on obtient :

x2 = 0,03 cos ( 8p + p / 6 ) = 0,0260 m

v2 = - 0,12 p sin ( 8p + p / 6 ) = - 0,188 m / s

 

A VOIR :

Problème résolu n° 1 A ci-dessus : Techniques mathématiques utilisées en physique.

Problème n° 1 B (à résoudre) : Techniques mathématiques.

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