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RAPPELS DE MATHÉMATIQUES - leçon n° 1

 

1- TRIGONOMETRIE


Considérons le triangle rectangle en B. Désignons par a l'angle de sommet A.

Le cosinus, le sinus et la tangente de l'angle a sont définis par :

 Remarques :

· Le théorème de Pythagore s'écrit : AC2 = AB2 + BC2

· cos ( 90 - a ) = sin a sin ( 90 - a ) = cos a

· Aide-mémoire : COCA et SINOP

COCA rappelle que le COsinus fait intervenir le Coté Adjacent

SINOP rappelle que le SINus fait intervenir le coté OPposé


2- COORDONNEES D’UN VECTEUR DANS UNE BASE ORTHONORMEE

 
2-1 COORDONNEES

2-2 EXERCICE :  Skieur en descente.

Enoncé :

Un skieur de masse m = 60 kg descend une piste inclinée de a = 20° sur l’horizontale.

La force de frottement est telle que le skieur possède une vitesse constante.

Calculer, dans la base orthonormée , les coordonnées et les normes des trois vecteurs forces ( poids ), ( action normale de la piste sur le skieur ) et .

On donne g = 9,8 N / kg.

 
Solution :

· Référentiel Galiléen d’étude : le solide Terre.

· Système étudié : le skieur.

· Forces appliquées sur le skieur :

- le poids (essentiellement action de la Terre sur le skieur) .

- la force (action normale de la piste sur le skieur).

- la force (action tangentielle de la piste sur le skieur, appelée force de frottement. Les frottements sont dus aux aspérités du sol et des skis).

· La vitesse étant constante, on peut appliquer la réciproque du principe de l’inertie, étudiée en classe de première :

Si, dans un référentiel Galiléen, le centre d’inertie d'un système est, soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à ce système est nulle (voir la leçon 6).

Ici, le skieur est animé d'un mouvement rectiligne uniforme. La somme des forces agissant sur lui est donc nulle :

Projetons cette relation sur les axes :

= 588 N

= 201 N

= 553 N

3- PRODUIT SCALAIRE . DE DEUX VECTEURS


Définition : . = . cos (, ). On btient un scalaire

Remarque : On montre que l'on a aussi . = Fx Lx + Fy Ly

 
4- DERIVEES

Fonctions

Dérivées premières

Dérivées secondes

y = at3+bt2+ct+d

dy / dt = 3at2+2bt+c

d²y / dt² = 6at+2b

y = cos t

dy / dt = - sin t

d²y / dt² = - cos t

y = sin t

dy / dt = cos t

d²y / dt² = - sin t

y = a.cos ( w t + f )

dy / dt = - a.w .sin ( w t + f )

d²y / dt² = - a.w ².cos ( w t + f )

y = a.sin ( w t + f )

dy / dt = a.w .cos ( w t + f )

d²y / dt² = - a.w ².sin ( w t + f )

5- DIVERS


·
Propriété de la tangente à une parabole.

La tangente à la parabole y = a x ² au point M coupe l'axe horizontal au point I d'abscisse :

x I = x M / 2

OI = OH / 2 soit x I = x M / 2


·
Longueur d'un arc de cercle. Dénivellation

- Dénivellation entre A et B :

La figure ci-dessus montre que :

cos q = CO / OB = CO / R qui s'écrit : CO = R.cos q

La dénivellation entre les ponts A et B est :

h = AC = AO - CO = R - R.cos q = R ( 1 - cos q )

- Longueur de l'arc de cercle :

= s = R q (q en radian, s et R en mètre)

· Translation rectiligne et rotation

- Rotation de la poulie et déplacement du solide S.

Lorsque la poulie tourne d'un angle q autour de l'axe fixe par rapport à la terre, le solide S descend du point O au point M, avec :

x = OM = R q

x et R s'expriment en mètre. L'angle q s'exprime en radian.

- Vitesse angulaire de la poulie et vitesse du solide S.

La poulie a une vitesse angulaire :

w = dq / dt =

Le solide S possède, lui, une vitesse V obtenue en calculant la dérivée de x par rapport à t :

V = dx / dt = R dq / dt

= R

V = R w

La vitesse V du solide s'exprime en m / s alors que la vitesse angulaire w de la poulie s'exprime en rad / s.

- Accélération angulaire de la poulie et accélération du solide S.

La poulie a une accélération angulaire :

= d w / dt

Le solide S possède une accélération a obtenue en calculant la dérivée de V par rapport à t :

a = dV / dt = d²x / dt² = R d²q / dt² soit :

a = = R

L'accélération a du solide s'exprime en m / s2 alors que l'accélération de la poulie s'exprime en rad / s2.

 
A VOIR :

Problème résolu n° 1-A : Techniques mathématiques utilisées en physique.

Problème n° 1-B (à résoudre) : Techniques mathématiques.

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