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PROBLEME RESOLU n° 2-A : Interaction Terre-Lune

Rappel : F = G.mM / r² = m.g ® g = G.M / r²

 

PARTIE 1


ENONCE :
 Interaction gravitationnelle entre la Terre et la Lune.


· a-
Enoncer la loi de gravitation universelle pour deux corps ponctuels de masse m et M, ou pour deux corps à répartition sphérique de masse. (c)

· b- Calculer la valeur numérique des deux forces de Newton s'exerçant entre la Terre (M = 5,98 ´ 10 24 kg) et la Lune (m = 7,34 ´ 10 22 kg). On suppose que la distance entre la Terre et son satellite reste égale à 384000 km.

Constante de gravitation G = 6,67 ´ 10 - 11 N.m ² / kg ². (c)


SOLUTION :


· a-
(e) Enoncé de la loi de gravitation universelle pour deux corps ponctuels de masse m et M, ou pour deux corps à répartition sphérique de masse.

Loi de la gravitation universelle :

Deux objets ponctuels A et B exercent l'un sur l'autre une force attractive dirigée suivant la droite qui les joint. Cette force varie proportionnellement au produit de leurs masses et à l'inverse du carré de la distance qui les sépare.

· est un vecteur unitaire dirigé de A vers B.

· r est la distance qui sépare A et B.

· G = 6,67.10 - 11 (S.I) est la constante de gravitation.

Remarque : Cette relation est encore vraie pour deux objets à répartition sphérique de masse.

· b- (e) Calculons la valeur numérique des deux forces de Newton s'exerçant entre la Terre et la Lune

En assimilant la Terre et la Lune à deux corps à symétrie sphérique de masse, on peut calculer la valeur de la force FT-L qu'exerce la Terre sur la Lune, égale et opposée à la force FL-T qu'exerce la Lune sur la Terre.

FT-L = FL-T = G.m.M / r²

FT-L = FL-T = 6,67.10 - 11 ´ (7,34.10 22) ´ 5,98.10 24 / 384000000 ²

FT-L = FL-T = 1,98 ´ 10 20 N

 

 

PARTIE 2 :


ENONCE :  Absence de champ de gravitation.


· Entre la Terre ( M = 5,98 ´10 24 kg ) et la Lune ( m = 7,34 ´ 10 22 kg ) existe un point O où le champ gravitationnel est nul. Déterminer la position de O par rapport au centre de la Terre. La distance du centre de la Terre au centre de la Lune est supposée constante et voisine de 384000 km. (c)

 
SOLUTION

(e) Déterminons la position du point O où le champ gravitationnel est nul entre la Terre et la Lune.

Lorsqu'on se place au point O, le champ de gravitation de la Terre gT = G . M / OT ² doit être égal au champ de gravitation de la Lune gL = G . m / OL²

On écrit donc :

gT = gL (au point O)

G . M / OT ² = G . m / OL²

OL² = OT ² ( m / M )

OL = 0,1108 OT (1)

De plus :

OL + OT = 384000000 (2)

Les relations (1) et (2) conduisent à :

OT = 345700155 m = 3,46 ´ 10 8 m

 

A VOIR :

Problème résolu n° 2 A ci-dessus : Interaction Terre-Lune.

Problème à résoudre n° 2-B (à résoudre) : Champ de gravitation terrestre.

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