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CINEMATIQUE PLANE - leçon n° 5

 

1- VITESSE ET ACCÉLÉRATION DANS UN REPÈRE CARTÉSIEN

 

· Position - vitesse - accélération  

- Vecteur position : = x + y

- Vecteur vitesse :

- Vecteur accélération :

 

· Nature du mouvement

- > 0 mouvement accéléré

- < 0 mouvement retardé

- = 0 mouvement uniforme

 
2- VITESSE ET ACCÉLÉRATION DANS LA BASE DE FRENET


· Base de Frenet

Cette base est constituée de deux vecteurs et .

Le vecteur unitaire est tangent à la trajectoire, au point M où se trouve le mobile. Ce vecteur est orienté arbitrairement (pas nécessairement dans le sens du mouvement).

Le vecteur unitaire est normal à la trajectoire. Il est orienté vers l'intérieur de la courbe.


· Vitesse et accélération

= v

est tangent à la trajectoire

est dirigé vers l'intérieur de la trajectoire

aT = est la valeur de l'accélération tangentielle mesurée sur l'axe . Elle peut être positive, négative ou nulle.

aN = est la valeur de l'accélération normale mesurée sur l'axe . Elle peut être positive ou nulle.

· Exemple :

 

3- MOUVEMENT RECTILIGNE À VITESSE CONSTANTE


· Position : x = vo t + xo ( xo et vo sont des constantes )

· Vitesse : v = vo. On l'obtient en dérivant x par rapport à t.

· Accélération : a = o. On l'obtient en dérivant v par rapport à t.


4- MOUVEMENT RECTILIGNE A ACCELERATION CONSTANTE


·
Equations horaires.

Equations complètes

Equations simplifiées

v = a 0 t + v 0

v = a 0 t

a = a 0

a = a 0

xo, vo et ao sont des constantes

· Préciser les conditions qui permettent d’utiliser les équations simplifiées

· Théorème 1 : v2² – v1² = 2 a ( x2 – x1 ). Cette relation caractérise un mouvement rectiligne à accélération constante.

· Théorème 2 : Lors d’un mouvement rectiligne uniformément varié les espaces parcourus pendant des intervalles de temps successifs égaux à q forment une progression arithmétique de raison r = a q ²

 
5- MOUVEMENT RECTILIGNE SINUSOÏDAL x = A sin (
w t + j )


· Position :

La position du mobile ponctuel est donnée par l'équation horaire x = A sin ( w t + j )

- A est l'amplitude.

- La phase à l'instant t est ( w t + j ). La phase à la date t = 0 est j .

- La pulsation est w

- La période est T = 2 p / w .

- La fréquence est N = 1 / T.

· Vitesse :

v = A w cos ( w t + j ). On l'obtient en dérivant x par rapport à t.

· Accélération :

a = - A w2 sin ( w t + j ). On l'obtient en dérivant v par rapport à t.

a = - w2 x

Remarque : L'amplitude A et la phase j se déterminent souvent en exprimant x et v à l'instant t = 0.

Théorème : La relation équivaut à x = A sin ( w t + j ) (voir le problème 1-A).

 
6- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME (à vitesse constante)

 

On repère la position de M :

- par l'angle q = ( , )

- ou par l'abscisse curviligne s = = R q ( q en radian )

s = = R q

q = ( , )

s = vo t + so

q = w o t + q o

v = ds / dt = v o

d q / dt = w = w o

a T = o et a N = v ² / R

q / dt² = 0

Dans le repère de Frénet : = v o et = (v o² / R)

 

Rappel  

Dans un mouvement circulaire uniforme :

- La vitesse est tangente au cercle avec v = R w .

- Laccélération est centripète avec a = R w ².

(La vitesse est constante en norme mais pas en direction, il y a donc accélération).

- La période est T = 2 p / w .

- La fréquence est N = 1 / T.

A VOIR :

Problème résolu n° 5 A : Mouvement rectiligne sinusoïdal

Problème n° 5 B (à résoudre) : Mouvement parabolique d'un plongeur

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