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PROBLEME RESOLU n° 5-A : Mouvement rectiligne sinusoïdal

 

ENONCE :

 
Une particule est animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdal :

x = Xm cos ( 4p t + j ) (1)

· 1 Calculer la pulsation w, la période T et la fréquence f de ce mouvement. (c)


·
2
Déterminer l’amplitude Xm et la phase j à l’origine des temps sachant qu’à la date t = 0 s on a :

x0 = 0 m et v0 = 0,5 m/s (c)


SOLUTION :


· 1
(e) Calculons la pulsation w , la période T et la fréquence f de ce mouvement.

- La pulsation est w = 4p rad / s

On en déduit :

- La période T = 2p / w = 2p /4p = 0,5 s

- La fréquence f = 1/ T = 2 Hz.


· 2
(e) Déterminons l’amplitude Xm et la phase j à l’origine des temps sachant qu’à la date t = 0 s on a :

x0 = 0 (m) et v0 = 0,5 (m/s).

La position de la partcule est, à chaque instant, donnée par :

x = Xm cos ( 4p t + j ) (1)

En dérivant par rapport au temps t la relation (1) on obtient la vitesse :

v = - 4p Xm sin ( 4p t + j ) (2)

Ecrivons les relations (1) et (2) à la date t = 0 s sachant que x0 = 0 m et v0 = 0,5 m/s :

0 = Xm cos ( j ) (3)

0,5 = 4p Xm sin ( j ) (4)

Ce système équivaut à :

cos ( j ) = 0

Xm = 0,0398 / sin ( j )

On trouve deux solutions :

j 1 = p / 2 rad avec X1m = 0,0398 m (5)

ou bien

j 2 = - p / 2 rad avec X2m = - 0,0398 m (6)

En fait, les deux solutions sont identiques car :

cos ( a + p / 2 ) = - cos ( a - p / 2 ) (7)

x1 = 0,0398 cos ( 4p t + p / 2 ) = - 0,0398 cos ( 4p t - p /2 ) = x2 (8)

En général, on préfère prendre Xm > 0. On retient donc :

Xm = 0,0398 m avec j = p / 2 rad (9)

Les équations horaires du mouvement s'écrivent alors :

x = 0,0398 cos ( 4p t + p/2 ) (10)

v = dx/dt = - 0,5 sin ( 4p t + p/2 ) (11)

a = dv/dt = - 2p cos ( 4p t + p/2 ) (12)

Remarque :

- On vérifie que x = Xm cos ( w t + j ) entraine d²x / dt² + w ² x = 0.

- La réciproque peut être démontrée.

 

A VOIR :

Problème résolu n° 5 A ci-dessus : Mouvement rectiligne sinusoïdal

Problème n° 5 B (à résoudre) : Mouvement parabolique d'un plongeur

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