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LOIS DE NEWTON - THEOREME DE L'ENERGIE CINETIQUE - leçon n° 6

 

1- PRINCIPE DE L'INERTIE (1° LOI DE NEWTON)

 
· Centre d’inertie : Tout système matériel est formé de particules quasi ponctuelles A1, A2, ... de masse m1, m2, ...

On peut associer à ce système un centre d’inertie G défini par :

(1)

O étant un point quelconque (généralement origine d’un repère), on peut montrer que :

(2)

· Principe de l’inertie : Un référentiel Galiléen est un référentiel dans lequel le principe de l’inertie est vérifié :

Dans un référentiel Galiléen, si la somme des forces extérieures appliquées à un système est nulle alors le centre d’inertie de ce système est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme.

La réciproque est vraie : Si, dans un référentiel Galiléen, le centre d’inertie d'un système est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à ce système est nulle.

· Remarques :

- Un référentiel est un solide. Il est déterminé par la donnée de quatre points non coplanaires. On prend souvent un solide très concret comme la Terre (référentiel du laboratoire ou référentiel terrestre). On peut également être amené à prendre un "solide" moins concret; c'est ce que l'on fait en particulier quand on choisit le référentiel de Copernic, "solide" construit à partir du centre du système solaire et de trois étoiles.

- Le référentiel Galiléen absolument parfait n’existe pas.

- Le référentiel Héliocentrique (solide formé par les centres du Soleil et de trois autres étoiles) peut être considéré comme étant Galiléen pour étudier les voyages interplanétaires (Terre ® Mars par exemple) ou pour étudier le mouvement des planètes autour du Soleil.

- Le référentiel Géocentrique (solide formé par les centres de la Terre et de trois étoiles) est considéré comme étant Galiléen pour étudier le mouvement des satellites terrestres.

- Le référentiel terrestre (solide Terre) est considéré comme étant Galiléen pour la plupart des problèmes de la vie courante étudiés en classe terminale.

- Tous les référentiels en mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel Galiléen sont eux-mêmes Galiléens.

- Dans un référentiel donné on peut tracer une infinité de repères constitués d'un point origine et, en général, de trois vecteurs unitaires de base.

- L'étude du mouvement d'un mobile nécessite non seulement le choix d'un référentiel auquel on associe un repère mais encore le choix d'une horloge permettant de mesurer le temps.

· Exercice proposé :

Des trois référentiels ci-dessus (Héliocentrique, Géocentrique, terrestre) lequel se rapproche le plus du référentiel Galiléen parfait ?

Quelle est la trajectoire du centre de la Terre dans ces trois référentiels ?

Décrire brièvement la trajectoire de Paris, assimilée à un point, dans les trois référentiels ci-dessus.

 

2- THEOREME DU CENTRE D'INERTIE

 
 Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

(3)

Remarque : Pour un point matériel ce résultat constitue la 2° loi de Newton.

 

3- LOI DES ACTIONS RECIPROQUES (3° LOI DE NEWTON)

 
Lorsque deux solides S
1 et S2 sont en interaction, les forces qu'ils exercent l'un sur l'autre sont directement opposées :

(4)

 

4- TRAVAIL ET PUISSANCE FOURNIS PAR UNE FORCE


4.1 Définition du travail d'une force constante.

Dans un référentiel donné, le travail d'une force constante dont le point d'application se déplace de A à B est donné par l'expression :

WAB( ) = . = . . cos ( , ) (5)

· Unités : Force en Newton ( N ) - Déplacement en mètre (m) - Travail WAB en Joule ( J )

· Travail moteur, résistant ou nul :

- Si l' angle ( , ) est aigu alors WAB > 0. Le travail est moteur (voir l'exemple 1).

- Si l' angle ( , ) est obtus alors WAB < 0. Le travail est résistant (voir l'exemple 2).

- Si est perpendiculaire à , le travail est nul.

· Remarque : L'expression du travail d'une force constante ne fait apparaître que les positions initiale A et finale B du point d'application de et non sa trajectoire.


4.2 Cas général d'une force et d'un déplacement quelconque.

Lors du déplacement quelconque du point d'application d'une force variable, cette dernière peut être considérée comme restant pratiquement constante pour un déplacement élémentaire (entre deux points très voisins). Le travail effectué par la force entre les points extrêmes A et B est égal à la somme des travaux élémentaires :

WAB( ) = dW1 + dW2 + dW3 + - - - = . + . + . + - - - (6)

· Remarque : La relation (6) redonne la relation (5) si la force reste constante. En effet :

WAB( ) = dW1 + dW2 + dW3 + - - = . + . + . + - - -

WAB( ) = . + . + . + - - - = . ( + + + - - - )

WAB( ) = .


4.3 Puissance développée par une force

· Puissance moyenne

Quand, dans un référentiel donné, une force effectue un travail WAB entre les dates tA et tB, la puissance moyenne développée par la force est :

pmoyenne = WAB / (tB - tA) (7)

Unités : Travail W en Joule ( J ) - durée t en seconde (s) - puissance en Watt (W).

· Puissance instantanée développée par une force

Si l'intervalle de temps dt = tB - tA est très court et tend vers 0, on peut passer à la limite. On définit alors la puissance instantanée développée par la force :

p instantanée = dW / dt = . / dt soit :

p instantanée = dW / dt = . (8)

 

4.4 Etude de quelques exemples.

· Exemple 1

Le mobile se déplace de A vers B

On donne = 60 N et = 5 m. On calcule :

W ( ) = cos 30°

W ( ) = 60 ´ 5 ´ 0,866

W ( ) = 260 J (9)

Le travail de est moteur, positif (angle aigu entre et )

 

· Exemple 2

Le mobile se déplace de A vers B

On donne = 50 N et = 3 m. On calcule :

W ( ) = cos 120°

W ( ) = 50 ´ 3 ´ ( - 0,50 )

W ( ) = - 75 J (10)

Le travail de est résistant, négatif (angle obtus entre et )

· Exemple 3

Skieur tracté le long de la piste OA

On donne a = 20° , b = 60°

- est une force motrice et W ( ) > 0 - Travail moteur.

(angle aigu de 60° entre et )

- est, ici, résistant et W ( ) < 0 - Travail résistant.

(angle obtus de 110° entre et )

- est résistante et W ( ) < 0 - Travail résistant.

(angle obtus entre et )

II faut regarder l'angle formé par la force et le vecteur déplacement

 voir le problème résolu 1 A

 

4.5 Tableau à retenir.

TYPE DE FORCE

TRAVAIL OU PUISSANCE

Force constante

WA ® B ( ) = . = . cos ( , ) (5)

[travail moteur si positif, travail résistant si négatif]

Poids = m

W ( ) = . = . cos ( , ) = ± mgH (11)

[+ si m descend, travail moteur] [- si m monte, travail résistant]

Force électrique = q . ..

W ( ) = q ( U initial – U final ) (12)

Force magnétique = .

W ( ) = 0 J car est perpendiculaire à (13)

Force sur parcours .

dW = . = . cos ( , ) (14)

.

Puissance instantanée :

pinstantanée = dW / dt = . (8)

 

.

Puissance moyenne :

pmoyenne = WAB / (tB - tA) (7)

UNITES

 

Force en Newton ( N )

Travail en Joule ( J )

Puissance en Watt ( W )

 

5- THEOREME DE L'ENERGIE CINETIQUE


Dans un référentiel Galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un solide, entre deux instants t initial et t final, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants.

Pour un solide en translation :

m.V²final - m.V²initial = W( ) + W( ) + ... (15)

 

6- THEOREME DE LA CONSERVATION DE L’ENERGIE MECANIQUE

 
Théorème : L'énergie mécanique d'un système soumis uniquement à des forces conservatives est constante.

Rappel : Une force est conservative si son travail ne dépend pas du chemin suivi pour aller de la position initiale à la position finale. C’est le cas du poids, de la force électrique mais pas des forces de frottement.

Système

E mécanique = E cinétique + E potentielle

Particule dans un champ de pesanteur

E mécanique = m v² + m g z (16)

Particule dans un champ de force élastique

E mécanique = m v² + K x² (17)

Particule dans un champ de force électrique

E mécanique = m v² + q U (18)

 

 

A VOIR :

Problème n° 6 A (à résoudre) : Energie cinétique - Plan incliné

Tous les problèmes sur la première partie du cours (leçons 7 à 12) et sur les oscillateurs mécaniques (leçons 13 et 14) font intervenir les connaissances de la leçon 6.

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