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MOUVEMENTS CIRCULAIRES NON UNIFORMES - leçon n° 9

 
Cette leçon est traitée sous forme de
problème résolu.

 

RAPPEL

Dans la base de Frénet : (revoir la leçon 5)


ENONCE : PARTICULE GLISSANT SUR UNE SPHÈRE

 
Une particule de masse m se met à glisser, sans frottement, à partir du sommet A d'une sphère immobile de rayon R.


·
1
Représenter et calculer, en fonction de R, g et q, la vitesse de la particule au point M. Cette vitesse reste-t-elle constante ? (c)


·
2
Représenter la force exercée par la sphère sur le mobile et calculer sa valeur en fonction de m, g et q. Cette force reste-t-elle constante ? (c)


·
3
Calculer numériquement l'angle q1 pour lequel la particule quitte la sphère. (c)


SOLUTION


·
1
(e) Déterminons la vitesse de la particule au point M.

Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Système étudié : la particule.

Forces extérieures appliquées sur la particule :

- Poids : essentiellement attraction de la Terre sur la particule

- Force de contact : action de la sphère sur la particule

Appliquons le théorème de l'énergie cinétique (voir la leçon 6) :

Dans un référentiel Galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un solide, entre deux instants t initial et t final, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants.

Pour un solide en translation :

m.V²final - m.V²initial = W( ) + W( ) + ...

Ici, ce théorème se traduit par :

m V² - 0 = W ( ) + W ( ) (1)

Calculons les travaux des deux forces extérieures appliquées au mobile entre les points A et M :

W ( ) = m g h = m g R ( 1 - cos q ) (revoir le schéma ci-dessus)

W ( ) = 0 Joule car la force reste perpendiculaire à la trajectoire (en l'absence de frottement)

Portons dans (1) :

m V² - 0 = m g R ( 1 - cos q ) + 0

On en déduit :

V² = 2 g R ( 1 - cos q ) (2)

Lorsque le mobile glisse à partir de A :

- l'angle q augmente en partant de 0

- cos q diminue en partant de 1

- V² = 2 g R ( 1 - cos q ) augmente en partant de 0.

La vitesse augmente lorsque le mobile descend.

 

· 2 (e) Calculons la valeur de force exercée par la sphère sur le mobile.

- Appliquons le théorème du centre d'inertie (voir la leçon 6) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

 Ici, on écrit :

+ m = m (3)

- Projetons cette relation sur la normale de Frénet en se rappelant que :

(revoir la leçon 5)

On pose F = et g =

Base de Frénet

+ m = m

0 + m g cos ( 90° - q ) = m (4)

- F + m g cos q = m (5)

Portons V² = 2 g R ( 1 - cos q ) (2) dans (5) - F + m g cos q = m

On obtient :

- F + m g cos q = m 2 g ( 1 - cos q )

F = m g ( 3 cos q - 2 ) (6)

- Lorsque le mobile glisse à partir de A :

- l'angle q augmente en partant de 0

- cos q diminue en partant de 1

- F = m g ( 3 cos q - 2 ) diminue en partant de F = m g.

La force F exercée par la sphère sur le mobile diminue lorsque le mobile descend.

 

· 3 (e) Calculons numériquement l'angle q1 pour lequel la particule quitte la sphère.

Lorsque le mobile quitte la sphère, l'action de la sphère sur ce mobile s'annule.

La relation (6) s'écrit alors :

0 = m ( 3 cos q1 - 2 ).

On en déduit :

cos q1 = 2 / 3 soit :

q1 = 48,2° = 0,841 rad (7)

Cette valeur q1 = 48,2° pour laquelle le mobile quitte la sphère est indépendante de la masse m du mobile et du rayon R de la sphère immobile.

Remarque : Le mobile exerce sur la sphère une force égale et opposée à . Cette sphère doit donc être maintenue afin de rester immobile par rapport à la Terre.

 

A VOIR :

Problème résolu ci-dessus : Particule glissant sur une sphère immobile.

Problème n° 9 A (à résoudre) : Piste circulaire puis rectiligne.

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