Terminale S - Retour Sommaire - Informations

(Pensez à utiliser la commande "Précédente" du navigateur et la touche F11 du clavier)

    

Leçon n° 10 : MOUVEMENT D'UN PROJECTILE DANS LE CHAMP DE PESANTEUR SUPPOSE UNIFORME

 

Cette leçon est traitée sous forme de problème résolu.

 

RAPPEL : Champ de pesanteur terrestre

Ce rappel est relatif au programme de la classe de première S.


En un point donné M, au voisinage de la Terre, le poids d'un objet de masse m peut s'écrire :

= m est, par définition, le vecteur champ de pesanteur terrestre au point M considéré.

Ce vecteur champ de pesanteur terrestre possède :

une origine : le point M

une direction : la verticale passant par M

un sens : du haut vers le bas

une valeur : l'intensité g de la pesanteur au point M

La valeur de l'intensité g de la pesanteur dépend de la latitude du point M où l'on opère (g = 9,78 N / kg à l'équateur, g = 9,83 N / kg au pôle Nord, au niveau de la mer) et de son altitude (diminution d'environ 1 % tous les 30 km).

Champ de pesanteur uniforme :

Dans un domaine restreint au voisinage de la Terre (dimensions de l'ordre de quelques kilomètres), on peut considérer que le champ de pesanteur est uniforme : le vecteur champ de pesanteur a même direction, même sens et même valeur en tout point de ce domaine restreint.

 

 ENONCE : Projectile dans le champ de pesanteur supposé uniforme


Un mobile ponctuel M glisse le long d'une table inclinée d'un angle a = 30° sur l'horizontale. Il quitte celle-ci, à la date t = 0 s, au point Mo, avec une vitesse


1 -
Préciser les conditions initiales. Calculer, à t = 0 s, les cordonnées du vecteur position et du vecteur vitesse dans le repère orthonormé. (c)


2 -
Déterminer les équations horaires du mouvement. Montrer que le mouvement a lieu dans un plan. (c)


3 - Etudier la trajectoire aérienne du mobile. Montrer que cette trajectoire, entre Mo et S, est parabolique. (c)


4 -
Déterminer les coordonnées du point d'impact S sur le sol ainsi que la date tS et la vitesse VS du mobile juste avant le choc. (c)

On donne :

g = 9,8 N / kg

Vo = 0,80 m / s

h = OMo = 2 m

 

SOLUTION :

 

1 - (e) Précisons les conditions initiales.

A la date t = 0 s, les vecteurs position et vitesse ont pour coordonnées :

x0 = 0 (1)

y0 = OMo = h = 2 m (2)

z0 = 0 (3)

 

 

V0x = cos ( , ) = 0,80 cos ( - 30° ) = 0,693 m / s (4)

V0y = cos (, ) = 0,80 cos ( - 120° ) = - 0,400 m / s (5)

V0z = 0 m / s (6)

 
2 -
(e) Déterminons les équations horaires du mouvement.

Référentiel Galiléen : le solide Terre auquel on associe le repère orthonormé (O ,).

Système étudié : le mobile M.

Force appliquée : le poids = m (7) (essentiellement attraction gravitationnelle de la Terre sur le mobile M de masse m)

Appliquons la deuxième loi de Newton pour déterminer l'accélération du mobile ponctuel :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse m du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

(8)

Ici, on écrit :

(9)

L'accélération est donc :

(10)

Les coordonnées du vecteur accélération sont donc, en posant g = :

ax = dVx / dt = 0 (11)

ay = dVy / dt = - g (12)

az = dVz / dt = 0 (13)

Cherchons les primitives de ces trois fonctions. On obtient, avec 3 contantes C1, C2 et C3 , les coordonnées du vecteur vitesse :

Vx = C1 (14)

Vy = - g t + C2 (15)

Vz = C3 (16)

Les 3 constantes C1, C2 et C3 sont déterminées en se plaçant à l'instant initial. Elles sont égales aux coordonnées du vecteur vitesse , à l'instant 0 (voir ci-dessus). Par conséquent :

 

 

Vx = dx / dt = V0 cos ( - 30° ) (17)

Vy = dy / dt = - g t + V0 cos ( - 120° ) (18)

Vz = dz / dt = 0 (19)

Cherchons de nouveau les primitives de ces trois fonctions. On obtient les coordonnées du vecteur position :

 

x = V0 cos ( 30° ) t + C4 (20)

y = - g + V0 cos ( 120° ) t + C5 (21)

z = C6 (22)

On a tenu compte du fait que cos ( - 30° ) = cos ( 30° ) et que cos ( - 120° ) = cos ( 120° )

Les 3 constantes C4, C5 et C6 sont déterminées en se plaçant à l'instant initial. Elles sont égales aux coordonnées du vecteur position initiale , à l'instant 0 (voir ci-dessus). Par conséquent :

 

x = V0 cos ( 30° ) t + 0 (23)

y = - g + V0 cos ( 120° ) t + h (24)

z = 0 (25)

Comme z = 0, la trajectoire est plane. Le mouvement a lieu dans le plan vertical (xoy). Les équations horaires paramétriques du mouvement sont :

x = V0 cos ( 30° ) t (23)

y = - g t² + V0 cos ( 120° ) t + h = - g - V0 sin ( 30° ) t + h (24)

z = 0 (25)

Remarque : Tous les calculs précédents peuvent être faits, plus rapidement, dans un tableau (les normes et sont notées V0 et g) :

 

Dans le tableau, on a utilisé les relations suivantes :

cos (- 30°) = cos (30°)

cos (120°) = - sin (30°)

cos (180°) = - 1


3 -
(e) Etudions la trajectoire aérienne du mobile. Montrons que cette trajectoire, entre Mo et S, est parabolique.

L'équation x = V0 cos ( 30° ) t (23) donne t = X / V0 cos (30°) (23 bis)

Portons t = X / V0 cos (30°) dans l'équation  y = - g - V0 sin ( 30° ) t + h (24)

On obtient l'équation de la trajectoire aérienne du mobile :

Y = - ( g / V0² cos² 30° ) - tan (30°) X + h (26)

Y = - 10,2 - 0,577 X + 2 (27)

Entre Mo et S, la trajectoire aérienne du mobile est donc un arc de parabole.


4 - (e) Déterminons les coordonnées du point d'impact S du mobile sur le sol ainsi que la date tS et la vitesse correspondante VS.

Au point S on a yS = 0 m.

La relation Y = - 10,2 - 0,577 X + 2 (27) donne 0 = - 10,2.x² - 0,577.x + 2.

C'est un trinôme du second degré de la forme 0 = a x² + b x + c

Le discriminant est D = b² - 4ac = 81,13

Les racines sont = - 0,469 m et = 0,412 m.

Physiquement, la bonne solution est :

xS = 0,412 m (28) associé à yS = 0 m (29)

L'abscisse x1 correspond à un point virtuel (intersection de la parabole, prolongée du coté x < 0, avec le sol).

La relation x = V0 cos ( 30° ) t (23)donne :

tS = xS / ( Vo cos 30° ) = 0,412 / ( 0,8 ´ cos 30° )

tS = 0,595 s (30)

Les relations :

Vx = V0 cos ( - 30° ) (17)

Vy = - g t + V0 cos ( - 120° ) (18)

permettent de calculer VS x et VS y :

 

 

VS x = Vo cos 30° = 0,693 m / s (31)

VS y = - g tS - Vo sin 30° = - 6,23 m / s (32)

On en déduit VS² = V²S x + V²S y = 0,693² + ( - 6,231 )² = 39,31 m² / s² soit :

VS = 6,27 m / s 6,3 m / s (33)

Remarque : Cette dernière question peut aussi être traitée en faisant appel au cours de première relatf à l'énergie mécanique d'une masse ponctuelle en interaction avec la Terre

Par définition l'énergie mécanique d'une masse quasi ponctuelle en interaction avec la Terre est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle de pesanteur :

Emécanique = m V 2 + m g y (34)

Cette expression est encore valable dans le cas d'un solide en translation (tous les points ont la même vitesse instantanée v)

Principe de conservation de l'énergie mécanique d'une masse ponctuelle seulement en interaction avec la Terre :

Lorsque la masse ponctuelle seulement en interaction avec la Terre se déplace sans subir de frottements son énergie mécanique reste constante :

Emécanique = m v 2 + m g y = Cte (35)

Ici, l'énergie mécanique du mobile dans le champ de pesanteur terrestre est la même au point Mo d'altitude h et au point d'altitude nulle:

m VMo² + m g h = m VS² + 0 soit :

VS² = 2 g h + VMo² soit

VS² = 2 ´ 9,8 ´ 2 + 0,80² = 39,84 m² / s²

VS = 6,31 m / s 6,3 m / s (33 bis)

L'écart relatif entre les valeurs de Vs données par les relations (33) et (33 bis) est inférieur à 1/100. Cet écart n'est dû qu'aux approximations faites dans les calculs.

 

A VOIR :

Problème résolu ci-dessus : Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur supposé uniforme.

Exercice 10-A : Connaissances du cours n° 10.

Exercice 10-B : La portée et la flèche d'un projectile.

Exercice 10-C : Mouvement sur un plan incliné - Construction du vecteur accélération.

Exercice 10-D : Pendule simple. Bac 2013 - Pndichery - Exercice 3.

Retour Sommaire - Informations