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Leçon n° 11 : PARTICULE CHARGEE DANS UN CHAMP ELECTRIQUE UNIFORME

Champ électrostatique (Rappel)

Mouvement rectiligne uniformément accéléré (Exercice 1)

Mouvement parabolique - Déflexion électrostatique (Exercice 2)

 

 

Cette leçon est traitée sous la forme de deux problèmes résolus.

 

RAPPEL : Champ électrostatique

Ce rappel est relatif au programme de la classe de première S.


Loi de Coulomb

En classe de première S nous avons introduit la loi de Coulomb :

Deux charges électriques ponctuelles immobiles, qA et qB, placées en A et B, exercent l'une sur l'autre une force dirigée suivant la droite qui les joint, répulsive si les charges sont de même signe, attractive si les charges sont de signe contraire. Cette force varie comme le produit de leurs charges et comme l'inverse du carré de la distance qui les sépare.

 

(1)

est le vecteur unitaire dirigé de A vers B.

Tracer ce vecteur sur les figures ci-contre. (2)

eo est la constante diélectrique (ou permittivité) du vide.

eo = 1 / ( 36 p 109 ) dans le système international d'unités. (3)

La distance qui sépare A et B est r. (4)

 

Par conséquent une charge q placée au voisinage d'autres charges électriques immobiles sera soumise à une résultante des forces de Coulomb. Cela permet de définir au point où se trouve la charge q un champ électrostatique = / q . (5)

Au voisinage de charges électriques immobiles existe donc un champ vectoriel électrostatique qui s'exprime en N / C (ou mieux en V / m). (6)


Champ électrostatique dans un condensateur plan

(7)

Le champ vectoriel électrostatique dans un condensateur plan est uniforme car le vecteur qui le caractérise reste le même en tout point de l’espace (même direction, même sens et même norme). (8)

Ce champ vectoriel a une direction perpendiculaire aux plaques. (9)

Son sens est orienté de la plaque positive vers la plaque négative. (10)

Sa valeur est E = U / d . Elle s'exprime en V / m ou en N / C (définition ci-dessus). (11)

Les 2 plaques soumises à la tension U (volt) sont distantes de d (mètre). (12)

 

EXERCICE 1


ENONCE : Mouvement rectiligne uniformément accéléré


Un ion
27Al +++ quitte la chambre d'ionisation d'un accélérateur avec une vitesse négligeable. Il est attiré par une électrode percée d'un trou A qu'il traverse avec une vitesse VA .

  (13)

On donne :

M ( 27Al +++ ) = 27 g / molg = 9,8 N / kge = 1,6 x 10 - 19 C N = 6,02 x 10 23 / molAO = d = 20 cmU AO = - 1000 V < 0


1
Etudier le mouvement de l'ion 27Al +++ entre O et A. Calculer la durée du trajet OA. (corrigé)

2 Calculer la vitesse de l'ion au passage en A. (c)


SOLUTION


1
(énoncé) Etudions le mouvement de l'ion Al +++ dans le champ électrique dirigé du plateau positif vers le plateau négatif.

  (13 bis)

Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Système étudié : l’ion 27Al +++ de masse molaire M = 27 g / mol et de masse :

m = M / N = 27 / 6,02.10 23 = 4,49 ´ 10 - 23 g = 4,49 ´ 10 - 26 kg   (14)

Deux forces sont appliquées sur l'ion Al+++ :

La force électrique = q qui représente l'action du champ électrique sur l'ion Al+++ (q = 3 e)

On a = 1000 / 0,20 = 5000 V / m   (15)

= q = 3 e = 3 x 1,6 x 10 - 19 x 5000 = 2,4 x 10 - 15 N   (16)

Le poids qui représente l'action de la Terre (essentiellement) sur l'ion Al+++ .

= m = 4,49 x 10 - 26 x 9,8 = 4,39 x 10 - 25 N   (17)

 

Le poids est très inférieur à la force électrique et sera négligé par la suite.   (18)

 

Appliquons le théorème du centre d'inertie (revoir la leçon 9) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

  (19)

 Ici, on écrit :

q = m   (20)

Projetons dans la base en posant :

E = = 5000 V / m   (21)

q = 3 e = 3 x 1,6.10 - 19 = 4,8 x 10 - 19 C   (22)

(23)

 

La lecture des 3°, 4° et 5° colonnes permet de remplir l'avant dernière colonne. On passe ensuite facilement à la dernière colonne.

Entre O et A le mouvement est rectiligne uniformément accéléré :

X = (q E / m) (24) ou encore X = 2,673 x 1010 (25)

La durée du trajet OA = xA = 0,20 m est donnée par la relation (25) :

0,20 = 2,673 x 1010 tA2

tA2 = 7,48 x 10 - 12 s² soit :

tA = 2,73 x 10 - 6 s (26)

(e) 2 Calculons la vitesse en A.

La relation X = (q E / m) = 2,673 x 1010 (25) permet de calculer la vitesse V à la date t :

V = dX / dt = (q E / m) t = 5,346 x 1010 t (27)

A la date tA = 2,73 x 10 - 6 s (26 ci-dessus) l'ion passe au point A avec la vitesse :

VA = 5,346 x 1010 tA = 5,346 x 1010 x 2,73 x 10 - 6

VA = 1,46 x 10 5 m / s (28)

Conclusion : Tous les appareils à canon d'électrons (oscilloscope, télévision, micro-ordinateur, etc) accélèrent les électrons de façon semblable à celle étudiée ici.

 

EXERCICE 2


ENONCE : Mouvement parabolique - Déflexion électrostatique


Un électron de charge q = - e, de masse m, arrive dans le vide, à l'instant t = 0 au point origine O d'un référentiel galiléen (voir schéma ci-dessous). Sa vitesse est :

= V0 ( V0 > O ) (29)

Cet électron est alors soumis à l'action d'un champ électrostatique uniforme :

= - (30) avec U = UP - UN > 0 (31)

Ce champ électrostatique uniforme est créé entre deux plaques P et N dans la région d'espace définie par :

O < x < L (32) et - d / 2 < y < d / 2 (voir schéma) (33)


1-
Montrer qu'entre les plaques la trajectoire de l'électron est parabolique. (corrigé)


2-
Donner la condition sur la tension U pour que la particule sorte du champ sans heurter les plaques. (c)


3-
Cette condition réalisée, la particule frappe un écran situé dans un plan x = D > L.

Exprimer la déviation 0' I du point d'impact et montrer qu'elle est fonction linéaire de la tension U = UP - UN appliquée entre les plaques P et N. (c)

 
SOLUTION


1-
(énoncé) Etudions la trajectoire de l'électron dans le champ électrostatique uniforme (entre les plaques P et N).

(34)

Référentiel Galiléen : le solide terre.

Système étudié : l'électron.

Forces appliquées :

La force électrique = q qui représente l'action du champ électrique sur l'électron (q = - e). (35)

Le poids = m de l'électron est négligeable devant la force électrique. (36)

Appliquons le théorème du centre d'inertie (voir la leçon 6) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

(37)

 Ici, on écrit :

q = m (38) (La charge q de l'électron étant négative, les vecteurs et sont de sens contraire).

Posons :

Norme du champ électrique

E = (39)

Vitesse de l'électron à la date t = 0

Vo = (40)

Charge élémentaire e > 0

e = + 1,6 x 10 - 19 C (41)

Charge de l'électron q < 0

q = - 1, 6 x 10 - 19 C (42)

Projetons la relation q = m (38) dans la base :

(43)

La lecture des colonnes 3, 4, 5 permet de remplir la colonne 6, puis, en dérivant la colonne 7

La relation x = V0 t (44) permet d'écrire t = X / V0 (44 bis) Portons t = X / V0 dans la relation donnant Y (voir le tableau) :

Y = X 2 (45) ou encore, avec E = > 0 (30)

Y = X 2 (46)

Entre les points O et S la trajectoire de l'électron est parabolique. (47)


2-
(e) Cherchons les valeurs positives de la tension U pour lesquelles l'électron sort du champ sans heurter les plaques.

L'électron sort du champ électrique sans heurter les plaques si pour xS = OH = L on a yS < d / 2 (48) soit

L2 < d / 2 (49) ou encore :

U < m VO² d ² / e L² (50)

 

3- (e) Calcul de la déviation O' I

Après S, l'électron n'est plus soumis à aucune force (poids quasi nul) et possède un mouvement rectiligne uniforme suivant la tangente à la parabole au point S.

On sait (revoir la leçon 1) que cette droite tangente SI passe par le milieu A du segment OH.

L'angle de déviation de la particule est tel que :

(51)

La déviation O' I est proportionnelle à la tension appliquée U.

Remarque 1 : Si U était négatif la déviation aurait lieu vers le bas de l'écran.

Remarque 2 : Ce type de déviation électrique intervient dans de nombreux appareils, notamment les oscilloscopes.

 

A VOIR :

Exercice 1 : Mouvement rectiligne uniformément accéléré. (ci-dessus)

Exercice 2 : Mouvement parabolique - Déflexion électrostatique. (ci-dessus)

Exercice 11-A : Connaissances du cours n° 11.

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