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EXERCICE 12-B : SATELLITE GEOSTATIONNAIRE

 

RAPPELS

Dans la base de Frenet (voir la leçon 8) :

Force gravitationnelle de Newton : F = m . g = G m M / r ² g = G M / r ² (classe de première)

 

ENONCE : Satellite géostationnaire


Un satellite géo
stationnaire reste constamment au dessus d'un point de la terre.

1- A quel plan son orbite doit-elle appartenir ? (corrigé)

2- Calculer sa période, sa vitesse et son altitude dans le référentiel géocentrique dont on rappellera la définition. (c)

On donne :

le rayon terrestre R0 = 6400 km

la valeur du champ de gravitation au niveau du sol g0 = 9,8 N / kg

la durée d'un jour sidéral T = 23 h 56 min.

(Le référentiel terrestre n’est pas Galiléen car le satellite géostationnaire, bien que soumis à la force d'attraction de la Terre, reste au repos dans ce référentiel)

 

SOLUTION :


1-
(énoncé) Plan de l'orbite d'un satellite géostationnaire.

On raisonne dans le référentiel géocentrique supposé Galiléen. C'est un solide formé par le centre de la terre et par les centres de 3 étoiles lointaines (les quatre points étant non coplanaires). Dans ce référentiel, Paris décrit un cercle.

Le centre de l'orbite du satellite est le centre de la Terre. Il suffit de représenter le satellite et le point de la Terre au dessus duquel il reste en permanence à deux dates différentes, par exemple à t = 0 (minuit) et à t ' = T / 2 = (23 h 56 min) / 2 = 11 h 58 min (midi) pour se rendre compte que le plan de l'orbite est nécessairement équatorial.


2-
(e) Calculons la période, la vitesse et l'altitude du satellite géostationnaire.

Parmi ces trois inconnues, la période T est très facile à déterminer dans le référentiel géocentrique.

La période du satellite géostationnaire, dans le référentiel géocentrique, est nécessairement égale à la période de rotation de la Terre dans ce même référentiel, soit :

T = 23 h 56 min = 86160 s (1)

 

Il nous reste à déterminer deux inconnues : la vitesse V et l'altitude h du satellite géostationnaire.

Référentiel Galiléen : le référentiel géocentrique. C'est un solide formé par le centre de la terre et par les centres de 3 étoiles lointaines.

Système étudié : le satellite assimilé à un point.

Force appliquée au satellite : Attraction gravitationnelle de la Terre sur le satellite :

F = m g = G m M / r ² (2)

G est la constante de gravitation universelle, m est la masse du satellite, M est la masse de la Terre, r est la distance du satellite ponctuel au centre de la Terre et g est la norme du vecteur gravitationnel à l'altitude où se trouve le satellite.

Appliquons la deuxième loi de Newton (revoir la leçon 9) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

Ce théorème s'écrit ici :

= m (3)

Exprimons et dans la base de Frenet :

(4)

Identifions les coefficients de , d'une part, puis ceux de , d'autre part :

(5) 0 = m m g = m (6) 

La relation (5) entraîne aT = = 0 (5 bis) et montre que la vitesse a une valeur constante. L'accélération tangentielle est nulle mais il y a une accélération centripète aN = = g (6 bis)  car la direction du vecteur vitesse change (revoir la leçon 8).

La relation m g = m (6)  permet d'écrire :

V2 = r g (7)

Remarque : Reprenons la relation (2) F = m g = G m M / r ² qui entraîne :

g = G M / r ²  (2 bis) à l'altitude h = r - R0.

g0 = G M / R0² (2 ter) au niveau du sol (h0 = 0).

Les relations (2 bis) et (2 ter) permettent d'écrire :

g r ² = g0 R0² (8)

g = g0 R0² / r ² (8 bis)

Portons (8 bis) dans la relation V2 = r g (7) :

V2 = r g = r g0 R0² / r ²

V2 = g0 R0² / r (9) (les deux inconnues V et r sont en bleu)

De plus, on sait que :

T = 2 r / V (10) (les deux inconnues V et r sont en bleu)

Les deux relations (9) et (10) forment un système de deux équations à deux inconnues.

Prenons r = V T / (2 ) dans la relation (10) et portons dans la relation V2 = g0 R0² / r (9) ::

V2 = g0 R0² / ( V T / 2 )

Il vient :

V3 = 2 g0 R0² / T (11)

r = V T / 2 (12)

Calculs numériques de la vitesse V et de l'altitude h du satellite géostationnaire.

L'énoncé donne g0 = 9,8 x N / kg, R0 = 6400 km = 6400000 m et T = 23 h 56 min = 86160 s

La relation (11) permet de calculer V :

V3 = 2 g0 R0² / T = 2 x 9,8 x 64000002 / 86160 = 2,92725 x 10 10 m3 / s3

V = 3082 m / s (13)

Portons cette valeur dans la relation (12) :

r = V T / (2) = 3082 x 86160 / ( 2) = 4,22 x 10 7 m (14)

L'altitude du satellite géostationnaire est :

h = r - Ro = 3,58 x 10 7 m (15)

Rassemblons les résultats :

V = 3082 m / s (13)

r = 4,22 x 10 7 m (14)

h = r - Ro = 3,58 x 10 7 m (15)

Remarque :

Au niveau du sol :

g0 = 9,8 N / kg

A l'altitude h = 6,6 R0 où gravite le satellite géostationnaire :

g = g0 R0² / r ² (8 bis)

g = 9,8 x 64000002 / 422491062

g = 0,224 N / kg < g0

D'après les relations (5 bis) aT = = 0 et (6 bis) aN = = g on peut écrire :

aN = g = 0,224 N / kg = 0,224 m / s2. (16)

= 0,224 (17)

Résumons les résultats :

Rayon terrestre : R0 = 6400 km Altitude : h Rayon de l'orbite : r = Ro + h

Dans le référentiel géocentrique tous les satellites géostationnaires sont tels que :

T = 23 h 56 min = 86160 s (1)

r = 4,22 x 10 7 m = 42 200 km 6,6 R0 (14)

h = r - Ro = 3,58 x 10 7 m = 35 800 km5,6 R0 (15)

V = 3082 m / s = 3,082 km / s (13) est tangent au cercle

aN = 0,224 m / s2(16) est centripète


A VOIR :

Problème résolu de la leçon 12 : La lune. Troisième loi de Képler.

Exercice 12-A : Connaissances du cours n° 12.

Exercice 12-B : Satellite géostationnaire. (ci-dessus)

Exercice 12-C : Le satellite Planck.

Exercice 12-D : Principe de fonctionnement d'un GPS - Bac 2013 - France métropolitaine.

Exercice 12-E : Station spatiale ISS - Bac 2013 - Amérique du nord.

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