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EXERCICE 12-D :  PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT D'UN GPS

Bac 2013 - France métropolitaine - Exercice 2 (10 points)

   

ENONCE 


Le nom officiel du GPS (Global Positioning System) est originellement NAVSTAR (Navigation System by Timing and Ranging). Il fut imaginé et mis au point par le département de la défense américaine qui envoya dans l'espace la première génération de satellites à partir de 1978. Depuis lors, celui-ci a largement fait ses preuves et le système GPS actuel comporte une trentaine de satellites en orbites quasi circulaires faisant inlassablement deux révolutions par jour autour de la Terre.

Données :

Célérité de la lumière dans le vide .c = 3,00 × 10 8 m.s-1

Altitude moyenne des satellites GPS h = 2,00 × 10 4 km

Masse de la Terre MT = 5,98 × 10 24 kg

Rayon de la Terre RT = 6,38 × 10 3 km

Constante de gravitation universelle G = 6,67 × 10 -11 m 3.kg -1.s- 2

1 octet = 8 bit

 

Document 1 : Fonctionnement général du GPS


Principe de la localisation

On peut déterminer la position d'un point à partir de sa distance à d'autres points. Par exemple, supposons que nous soyons perdus quelque part en France, si nous passons devant un panneau indiquant que Paris est à 150 km sans en donner la direction, nous sommes situés quelque part sur un cercle centré sur Paris et de rayon 150 km. Si par ailleurs un autre panneau nous indique Orléans 230 km, nous sommes sur un cercle centré sur Orléans et de rayon 230 km. Il suffit donc de tracer ces deux cercles et de voir où ils se coupent. Généralement, ils se coupent en deux points (Dieppe et Sainte-Menehould dans notre exemple) et nous avons donc besoin d'une troisième indication afin d'éliminer l'un des deux points.


Mesure de la distance satellite/récepteur

Un satellite GPS envoie très régulièrement un signal électromagnétique indiquant l'heure de l'émission du signal de manière très précise, ainsi que des informations sur la position du satellite. Le récepteur n'a plus qu'à comparer l'heure de réception à celle de l'émission pour calculer le temps de parcours du signal et en déduire la distance le séparant du satellite.

Pour bénéficier d'une précision de 10 m dans la direction de propagation du signal électromagnétique envoyé par un satellite GPS, le récepteur GPS doit mesurer la durée de trajet de ce signal avec une précision d'environ 30 ns. Cette précision extrême nécessite de prendre en compte des effets relativistes. La non prise en compte de ces effets entrainerait une avance des horloges des satellites sur les horloges terrestres d'environ 38 s = 3,8 x 10 - 5 s par jour.


Caractéristiques du signal GPS

Les informations sont envoyées par le satellite sous la forme d'un signal binaire avec un débit très faible : 50 bit.s-1. Dans la pratique, le GPS garde en mémoire les paramètres du calcul de position reçus avant son dernier arrêt et reprend par défaut ces paramètres, lors de sa mise en marche. Ainsi, la mise à jour est d'autant plus rapide qu'on utilise son GPS fréquemment.

En réalité, le récepteur GPS reçoit en permanence des informations de plusieurs satellites, sur une même fréquence. Pour distinguer les satellites les uns des autres, on a attribué à chacun un code, appelé code C/A qui se présente sous la forme de séquences binaires répétées de 1 et de 0. Le message GPS est superposé à ce code et, lors de la réception du message, le récepteur pourra, grâce au code, identifier le satellite source et traduire le signal pour en connaitre le message.

La superposition du code C/A et du message consiste simplement à inverser les 0 et les 1 du code lorsque le bit du message vaut 1 et à ne pas les modifier lorsque le bit du message vaut 0. Un exemple de signal reçu par le GPS est représenté en ANNEXE 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1- A propos de la localisation

Sortant tout juste d'une ville française, un automobiliste voit un panneau indiquant Lyon à 240 km et Nancy à 340 km. Déterminer graphiquement, à l'aide de la carte fournie en ANNEXE 1 (à rendre avec la copie) la ville où il se trouve. Justifier. (corrigé)

 

2- Etude du mouvement d'un satellite

Le mouvement du satellite est étudié dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Ce référentiel est associé au centre de la Terre ainsi qu'à trois étoiles lointaines, considérées comme fixes.

2-1 En supposant que son orbite est circulaire, montrer que le mouvement d'un satellite GPS de masse m est uniforme.(c)

2-2 Montrer que l'expression de la vitesse du satellite est et déterminer sa valeur numérique. (c)

2-3 Etablir l'expression de la période de révolution d'un satellite GPS. Calculer sa valeur et vérifier qu'elle est compatible avec l'information du texte d'introduction. (c)

 

3- Précision des mesures

3-1 Justifier par le calcul la phrase suivante : " Pour bénéficier d'une précision de 10 m dans la direction de propagation du signal électromagnétique envoyé par un satellite GPS, le récepteur GPS doit mesurer la durée de trajet de ce signal avec une précision d'environ 30 ns." (c)

3-2 Quelle est la durée de parcours du signal électromagnétique ? En déduire la précision relative sur la mesure de cette durée. (c)

3-3 . Si on ne tenait pas compte des effets relativistes, quel serait le décalage temporel entre les horloges terrestres et celles du satellite GPS au bout d'une journée ? En déduire la durée nécessaire pour que les horloges terrestres et celle du satellite GPS soient significativement désynchronisées, c'est-à-dire pour qu'elles soient décalées de 30 ns. (c)

 

4- Etude du signal GPS

4-1 Sachant que le message GPS contenant les paramètres de calcul a une taille d'environ 4,5 ko, calculer la durée nécessaire à l'envoi de l'intégralité de ce message par le satellite lors de la mise en marche du GPS. Commenter cette durée surprenante en s'appuyant sur le document " Fonctionnement général du GPS ". (c)

4-2 En ANNEXE 2 (à rendre avec la copie) est donné un exemple de message GPS et de code C/A. Compléter cette annexe par 0 ou 1 en effectuant la superposition " message + code " comme cela est indiqué dans le document " Fonctionnement général du GPS " ci-dessus. (c)

 

 

 SOLUTION


1- (énoncé) A propos de la localisation

Sortant tout juste d'une ville française, un automobiliste voit un panneau indiquant Lyon à 240 km et Nancy à 340 km. Déterminons graphiquement, à l'aide de la carte fournie en ANNEXE 1 la ville où il se trouve. Justifions.

(1)

L'automobiliste se trouve sur un cercle de centre Lyon et de rayon 240 km.

Il se trouve aussi à 340 km de Nancy et donc sur un cercle de centre Nancy et de rayon 340 km.

Ces 2 cercles se coupent en 2 points. L'un des points est en Italie. L'autre point est Bourges, ville française d'où sort l'automobiliste. (2)

2- Etude du mouvement d'un satellite

Le mouvement du satellite est étudié dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Ce référentiel est associé au centre de la Terre ainsi qu'à trois étoiles lointaines, considérées comme fixes.

2-1 (e) En supposant que son orbite est circulaire, montrons que le mouvement d'un satellite GPS de masse m est uniforme.

Déterminons, dans le référentiel géocentrique, la vitesse v de d'un satellite GPS et sa période de révolution T.

(3)

Référentiel Galiléen : le référentiel géocentrique (voir le lexique de physique).

Système étudié : le satellite GPS de masse m située à la distance r = RT + h du centre de la Terre..

Une seule force extérieure est appliquée sur le satellite :

: l'attraction gravitationnelle de la Terre sur le satellite (4)

On peut écrire, dans la base de Frenet , (voir la figure ci-dessus) :

= (5)

Appliquons la deuxième loi de Newton (Principe fondamental de la dynamique) (revoir la leçon 9) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

(6)

  Ce théorème s'écrit ici :

= m (7)

= m ( ) (8)

Identifions les coefficients de , d'une part, puis ceux de , d'autre part.

(9) 0 = m = m (10) 

La relation (9) entraîne = 0 (11) et montre que la vitesse V du satellite GPS a une valeur constante sur son orbite circulaire (12) 

 

2-2 (e) Déterminons l'expression de la vitesse du satellite est et déterminons sa valeur numérique.

 

La relation (10)  = m ci-dessus donne :

(13)

Données de l'énoncé :

Altitude moyenne des satellites GPS h = 2,00 × 10 4 km = 2,00 × 10 7 m

Masse de la Terre MT = 5,98 × 10 24 kg

Rayon de la Terre RT = 6,38 × 10 3 km = 6,38 × 10 6 m

Constante de gravitation universelle G = 6,67 × 10 -11 m 3.kg -1.s- 2

Calcul numérique de la vitesse de norme constante :

 

= ( 6,67 × 10 -11 x 5,98 × 10 24 ) / ( 6,38 × 10 6 + 2,00 x 10 7 ) = 39,8866 × 10 13 / 2,638 x 10 7 = 15,12001516 × 10 6 m2 / s2

V = 3,89 × 10 3 m / s = 3,89 km / s (14)

.

 2-3 (e) Etablissons l'expression de la période de révolution T d'un satellite GPS. Calculons sa valeur et vérifions qu'elle est compatible avec l'information du texte d'introduction.

 Le périmètre de l'orbite du satellite peut s'écrire :

Périmètre = 2 r = V . T (15)

T = 2 r / V = 2 (RT + h) / (16)

T = 2 (17)

Numériquement :

T = 2 r / V = 2 x 2,638 x 10 7 / 3,89 × 10 3

T = 4,2609 x 10 4 s

T = 11,836 h = 11 h 50 min 9 s (18)

Cette valeur est compatible avec l'information du texte d'introduction. (19)

 

3- Précision des mesures

 

3-1 (e) Justifions par le calcul la phrase suivante : " Pour bénéficier d'une précision de 10 m dans la direction de propagation du signal électromagnétique envoyé par un satellite GPS, le récepteur GPS doit mesurer la durée de trajet de ce signal avec une précision d'environ 30 ns."

La vitesse de la lumière permet d'écrire :

c = d / (21)

Soit = d / c = 10 / 3 x 10 8 s = 3,3 x 10 - 8 s = 33 x 10 - 9 s = 33 ns

= 33 ns30 ns (22)

 

3-2 (e) Calculons la durée t de parcours du signal électromagnétique et la précision relative sur la mesure de cette durée.

Pour parcourir la distance séparant le satellite de la Terre le signal électromagnétique met un temps t :

t = h / c = 2,00 x 10 7 / 3 x 10 8 (23) (On considère que le satellite GPS est quasiment à la verticale du récepteur terrestre)

t = 6,7 x 10 - 2 s (24)

La précision relative sur la mesure de cette durée est :

/ t = 3,3 x 10 - 8 / 6,7 x 10 - 2 = 4,9 x 10 - 7 (25)

 

3-3 (e). Si on ne tenait pas compte des effets relativistes, calculons ce que serait le décalage temporel entre les horloges terrestres et celles du satellite GPS au bout d'une journée. On en déduira la durée nécessaire pour que les horloges terrestres et celle du satellite GPS soient significativement désynchronisées, c'est-à-dire pour qu'elles soient décalées de 30 ns.

D'après l'énoncé la non prise en compte de ces effets entrainerait une avance des horloges des satellites sur les horloges terrestres d'environ 38 s = 3,8 x 10 - 5 s = 38000 ns par jour de 24 h = 86400 s.

Le décalage est de 38000 ns au bout de 86400 s

Le décalage est de 1 ns au bout de (86400 / 38000) s

Le décalage est 30 ns au bout de (86400 / 38000) x 30 s = 68 s (26)

Les horloges terrestres et celle du satellite GPS seraient significativement désynchronisées de 30 ns en 68 s (27) (si on ne tenait pas compte des effets relativistes).

 

4- Etude du signal GPS

 

 4-1 (e) Sachant que le message GPS contenant les paramètres de calcul a une taille d'environ 4,5 ko, calculons la durée nécessaire à l'envoi de l'intégralité de ce message par le satellite lors de la mise en marche du GPS. Commenons cette durée surprenante en s'appuyant sur le document " Fonctionnement général du GPS ".

Le message a une taille de 4,5 ko = 4500 octets = 4500 x 8 bits = 36000 bits (28)

50 bits sont envoyés en 1 s(Le satellite envoie ses messages avec un débit de 50 bits / s d'après l'énoncé)

1 bit est envoyé en (1 / 50) s

36000 bits sont envoyés en 36000 (1 / 50) = 720 s = 12 min (29)

 

4-2 (e) En ANNEXE 2 (à rendre avec la copie) est donné un exemple de message GPS et de code C/A. Nous allons compléter cette annexe par 0 ou 1 en effectuant la superposition " message + code " comme cela est indiqué dans le document " Fonctionnement général du GPS " ci-dessus.

Figure donnée par l'énoncé. (30)

 

La superposition du code C/A et du message consiste simplement à inverser les 0 et les 1 du code lorsque le bit du message vaut 1 et à ne pas les modifier lorsque le bit du message vaut 0.

Figure complélée par l'élève. (31)

 

A VOIR :

Problème résolu de la leçon 12 : La lune. Troisième loi de Képler.

Exercice 12-A : Connaissances du cours n° 12.

Exercice 12-B : Satellite géostationnaire.

Exercice 12-C : Le satellite Planck.

Exercice 12-D : Principe de fonctionnement d'un GPS - Bac 2013 - France métropolitaine. (ci-dessus)

Exercice 12-E : Station spatiale ISS - Bac 2013 - Amérique du nord.

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