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EXERCICE 12-E : STATION SPATIALE ISS

Bac 2013 - Amérique du Nord - Exercice II (6,5 points)

Calculatrice autorisée

 

ENONCE 

 Voir le corrigé de la partie A

 

    (Voir le corrigé de la partie B)

 

SOLUTION

 

PARTIE A : Etude du mouvement de la station spatiale ISS (Voir l'énoncé de la partie A)


1-
Représentons la Terre (T), la station spatiale(S) et la force d'interaction gravitationnelle exercée par la Terre (T) sur la station (S) :

Rayon de la Terre T : R

Altitude de la station S : h

Rayon de l'orbite circulaire d = TS = R + h

Masse de la Terre : M

Masse de la station ISS : m

Constante de gravitation universelle : G

vecteur unitaire centripète :

La force d'interaction gravitationnelle exercée par la Terre (T) sur la station (S) est :

(1)

 

(2)

 

  2- Etablissons l'expression de l'accélération de la station dans le référentiel géocentrique supposé galiléen.

Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Système étudié : la station spatiale (S).

Force extérieure appliquée sur la station (S) : L'attraction gravitationnelle de la Terre (T).

Appliquons la deuxième loi de Newton pour déterminer l'accélération du mobile ponctuel :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse m du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

(3) (Voir la leçon 9)

Ici, on écrit :

(4)

= m . (5)

L'accélération est donc :

= (6)

Mais d = R + h. On a donc :

= (7)

 

Le vecteur accélération est centripète. L'accélération tangentielle est nulle car la vitesse est de valeur constante. (8)

 

3 - Vitesse du satellite


3-1 Expression de la vitesse V.

 

Base de Frenet (revoir la leçon 8)

· Le vecteur unitaire est tangent à la trajectoire, au point M où se trouve le mobile. Ce vecteur est orienté arbitrairement (pas nécessairement dans le sens du mouvement).

· Le vecteur unitaire est normal à la trajectoire. Il est orienté vers l'intérieur de la courbe.

L'accélération de la station est normale au cercle (centripète)

· = (7 bis)

La vitesse de la station est tangente au cercle

· On sait que l'accélération centripète est reliée à la vitesse tangentielle du satellite par la relation :

aS = V 2 / (rayon) = V 2 / (R + h) (9)

· On en déduit :

V 2 = aS . (R + h) = (R + h) (10)

V = (11)

 

(12)

3-2 Calculons la valeur de la vitesse de la station en m / s.

· G = 6,67 x 10 - 11 m3 . kg - 1 . s - 2

· M = 5,98 x 10 24 kg

· R = 6380 km = 6,380 x 10 6 m

· h = 400 km = 4,00 x 10 5 m

 

V = = 7,67 x 10 3 m / s (13)

4 - Calculons le nombre de tours faits par la station autour de la Terre en 24 heures.

La longueur d'un tour (périmètre du cercle) est :

L = 2 . p . rayon = 2 . p . (R + h) = 2 x 3,14 x (6 380 000 + 400 000) = 2 x 3,14 x 6 780 000 = 42 578 400 mètres (14)

La durée d'un tour est :

T ' = longueur d'un tour / vitesse de la station = L / V = 42 578 400 / 7670 = 5 551,29 secondes (15)

En 24 heures = 24 x 3600 = 86 400 secondes, le nombre de tour faits par la station autour de la Terre est :

N = 86 400 / 5 551,29

N = 15,56 tours (16)

Résumé pour le mouvement circulaire uniforme de la station spatiale (vitesse constante en valeur mais pas en direction)

· Le rayon du cercle que décrit la station spatiale est R + h

· Le vecteur vitesse est tangent au cercle. Sa norme (valeur) est V = = 7,67 x 10 3 m / s (13 bis)

(Le vecteur vitesse est constant en norme mais pas en direction, il y a donc un vecteur accélération ).

· Le vecteur accélération est centripète. Sa norme est a = V 2 / Rayon. Ici on obtient : = (7 ter)

· La période est T ' = 2 p (R + h) / V = 5 551 s (durée d'un tour) (15 bis)

· Le nombre de tours en 24 heures est N = 15,56 tours (16 bis)

· La fréquence est N ' = 1 / T ' (nombre de tours par unité de temps)

 

PARTIE B : Ravitaillement de la station spatiale ISS (Voir l'énoncé de la partie B)

 

1 - Modèle simplifié du décollage

Dans ce modèle simplifié, on suppose que le système (fusée¨+ gaz) est isolé (non soumis à l'attraction terrestre)

1-1  Montrons que le vecteur vitesse de la fusée est (17)

La quantité de mouvement du système (fusée¨+ gaz) est . (18)

D'après la loi de Newton (voir la leçon 9) (19) le système étant supposé isolé (aucune force extérieure) sa quantité de mouvement est constante. Elle est nulle avant le décollage et le reste ensuite :

(20)

Cette relation donne :

(21) (La vitesse de la fusée est de sens opposé à la vitesse des gaz sortant de la fusée. Il y a propulsion par réaction)

1-2  Montrons que la variation de masse de la fusée est négligeable 1 seconde après le décollage et calculons alors la vitesse de la fusée.

Au décollage Vg = 4000 m/s

D'après l'énoncé, en 1 seconde, la masse de gaz éjecté est mg = 2900 kg.

La fusée de masse initiale mf = 780 000 kg voit sa masse diminuer de - 2900 kg en 1 seconde. La variation relative de sa masse est de - 2900 / 780 888 = - 0,00371 = - 0,371 / 100 - 0,37 %.

Cette variation est négligeable et la relation (21 bis) donne :

Vf = (2900 / 780 000) x 4000 = 11 600 000 / 780 000 = 14,87 m/s

Vf 14,9 m/s (22)

 

2 - Etude plus réaliste du décollage


2-1  En réalité la vitesse du décollage est nettement inférieure à 14,9 m/s. (23)

En réalité le système (fusée + gaz) n'est pas isolé. En effet il y a l'importante attraction gravitationnelle de la Terre dont il faut absolument tenir compte. (24)

De plus les frottements de l'air ralentissent aussi la fusée. (25)


2-2  La fusée est soumise à son poids et à la poussée = - D . (26).

La lettre D désigne la masse de gaz éjecté par seconde. (27)

· Montrons que le produit (D . Vg) est homogène à une force.

Le produit (D . Vg) s'exprime en kg/s x m/s = kg . m/s² qui est aussi l'unité attachée au produit masse x accélération = m dV/dt. (28)

D'après la 2° loi de Newton = m (voir la leçon 9) m dV/dt est homogène à une force. (29)

Le produit (D . Vg) est donc bien homogène à une force. On peut l'exprimer en newtons (N). (30)

· Vérifions numériquement que la fusée peut effectivement décoller.

Le poids initial de la fusée est :

P = mf . g = 780 000 x 9,78 7,6 x 10 6 N (31)

La force de poussée initiale est :

F = D . Vg = 2900 x 4000 12 x 10 6 N (32)

La fusée peut décoller car la poussée dirigée vers le haut a une norme supérieure au poids initial dirigé vers le bas. (33)

 

A VOIR :

Problème résolu de la leçon 12 : La lune. Troisième loi de Képler.

Exercice 12-A : Connaissances du cours n° 12.

Exercice 12-B : Satellite géostationnaire.

Exercice 12-C : Le satellite Planck.

Exercice 12-D : Principe de fonctionnement d'un GPS - Bac 2013 - France métropolitaine.

Exercice 12-E : Station spatiale ISS - Bac 2013 - Amérique du nord. (ci-dessus)

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