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Leçon n° 12 : SATELLITES ET PLANETES - LOIS DE KEPLER

 

Depuis la plus haute Antiquité les hommes ont cherché à décrire et à comprendre le mouvement des objets célestes.

Pendant tout le Moyen Age, appliquant le système du savant grec Ptolémée Claude (2° siècle), on pense que la Terre est le centre du monde et que les astres tournent autour d'elle.

Copernic Nicolas, savant Polonais, montre que la Terre, comme les autres planètes, tourne sur elle même et autour du Soleil (Traité sur les révolutions du monde céleste, 1543).

Képler Johannes, savant allemand, exploite les mesures de son maître danois Tycho Brahé et énonce les trois lois qui régissent le mouvement des planètes autour du Soleil (La nouvelle astronomie, 1609).

C'est le savant anglais Isaac Newton (Sir) qui énonce la loi de gravitation universelle, permettant d'expliquer de nombreux mouvements célestes (Principes mathématiques de philosophie naturelle, 1686).

Certains phénomènes seront expliqués par la mécanique relativiste d'Einstein au 20° siècle.

La connaissance de l'Univers physique occupe, encore de nos jours, de nombreux chercheurs.

 

1- LES TROIS LOIS DE KEPLER


Ces trois lois sont valables dans le référentiel héliocentrique, considéré comme étant Galiléen.

1-1 Première loi de Képler

Dans le référentiel héliocentrique, le centre de chaque planète décrit une trajectoire elliptique dont le centre du Soleil S est l'un des foyers.

Rappel : Une ellipse est formée par l'ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes ( les foyers F et F ' ) est constante :

MF + MF ' = 2 a (1)

Remarque : un cercle peut être considéré comme une ellipse dont les deux foyers sont confondus.

1-2 Deuxième loi de Képler

Dans le référentiel héliocentrique, le segment de droite qui relie les centres du Soleil S et de la planète M "balaie" des aires égales pendant des durées égales. (2)

Remarque : La vitesse la plus grande de la planète est en A, point le plus rapproché du Soleil (périhélie). La vitesse la plus faible est en A', point le plus éloigné du Soleil.

1-3 Troisième loi de Képler

Dans le référentiel héliocentrique, le rapport entre le carré de la période de révolution T de chaque planète et le cube du demi-grand axe de l'orbite elliptique est constant :

T2 / a3 = Cte (3)

La valeur de la constante ne dépend que de la masse du Soleil.

1-4 Remarque

Les trois lois de Képler sont également valables pour les satellites de la Terre dans le référentiel géocentrique. La constante figurant dans T2 / a3 = Cte ne dépend alors que de la masse de la Terre (voir ci-dessous).

Pour aborder la suite de la leçon il est utile de revoir le cours de premère S relatif à la force de gravitation universelle et au champ de gravitation.

 

2- SATELLITE A ORBITE CIRCULAIRE


Ce paragraphe est traité sous forme de
problème résolu.


RAPPELS :

Dans la base de Frenet (voir la leçon 8) : (4)

Force gravitationnelle de Newton : F = m . g = G m M / r ² g = G M / r ² (5) (classe de première)


ENONCE : La Lune. Troisième loi de Képler


On admet que la Lune décrit une trajectoire circulaire, de rayon r = 384000 km, autour de la Terre.

La Terre est assimilée à une sphère de masse M = 6,0 x 10 24 kg et de rayon R = 6400 km.

1 Définir le référentiel géocentrique. (corrigé)

2 Calculer, dans le référentiel ci-dessus, la vitesse v de la lune et sa période de révolution T.

Constante de gravitation universelle :

G = 6,67 x 10 - 11 S.I. (Système international d'unités) (c)

3 Etablir la troisième loi de Képler T2 / r3 = 4 2 / G.M.

En déduire la période de révolution du télescope Hubble qui gravite autour de la Terre à l'altitude h = 600 km. (c)

 
SOLUTION :


1
(énoncé) Le référentiel géocentrique supposé Galiléen est un solide formé par le centre de la terre et par les centres de 3 étoiles lointaines (les quatre points n'étant pas dans un même plan). Dans ce référentiel Paris décrit un cercle.


2
(e) Déterminons, dans le référentiel géocentrique, la vitesse v de la lune et sa période de révolution T

(6)

Référentiel Galiléen : le référentiel géocentrique.

Système étudié : la Lune de masse m, située à la distance r du centre de la Terre..

Une seule force extérieure est appliquée sur la Lune :

: attraction gravitationnelle de la Terre sur la Lune (7)

On peut écrire, dans la base de Frenet , :

= (8)

Appliquons la deuxième loi de Newton (Principe fondamental de la dynamique) (revoir la leçon 9) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

(9)

Ce théorème s'écrit ici :

= m (10)

= m ( ) (11)

Identifions les coefficients de , d'une part, puis ceux de , d'autre part.

(12) 0 = m = m (13) 

La relation (12) entraîne aT = = 0 (14) et montre que la vitesse a une valeur constante.

L'accélération tangentielle est nulle mais il y a une accélération centripète aN = = G M / r2 (15) car la direction du vecteur vitesse varie.

La relation (15) permet de calculer la vitesse :

v ² = G M / r (16)

Calculs numériques :

L'énoncé donne : G = 6,67 x 10 - 11 SI M = 6,0 x 10 24 kg r = 384000 km = 3,84 x 10 8 m

Portons ces valeurs dans la relation (16) :

v ² = G M / r = 6,67 x 10 - 11 x 6,0 ´ 10 24 / 3,84 ´ 10 8 = 1,042 x 10 6 m² / s².

v = 1021 m / s (17)

La période de révolution de la Lune autour de la terre est, dans le référentiel géocentrique :

T = 2 r / v (18) soit, numériquement : T = 2,363 x 10 6 s = 27,3 jours (19)

Remarque :

L'accélération du centre d'inertie de la Lune est telle que :

aT = = 0 m / s2 (20)

aN = = (1021)2 / (3,84 x 108) = 2,7 x 10 - 3 m / s2 (15 bis)

= 0,0027 (21)


3
(e) Etablissons la 3 ° loi de Kepler.

Les relations (16) v ² = G M / r et (18) T = 2 r / v entraînent :

T 2 = 4 2 r ² / v ² = 4 2 r ² / (G M r - 1) soit :

T 2 / r 3 = 4 2 / (G M) = constante (22) C'est la troisième loi de Képler.

Calculons la période de révolution du télescope Hubble qui gravite autour de la Terre à l'altitude h = 600 km.

Pour le satellite Hubble (r1 = R + h = 6400 + 600 = 7000 km = 7 x 10 6 m) (23) on trouve une période T1 telle que

Satellite Hubble T12 / r13 = 4 2 / (G M) = T 2 / r 3 Lune (24)

On en déduit :

T12 = T 2 (r1 / r)3 = ( 2,363 x 106 )2 ( 7 x 106 / 3,84 x 108 )3

T12 = 3,38 x 107

T1 = 5816 s = 1 h 37 min (25)

Remarque :

L'énoncé donne la masse M de la Terre (M = 6,0 ´ 10 24 kg). Cette valeur permet de calculer la constante de la 3° loi de Képler :

T 2 / r 3 = 4 2 / (G M) = constante

T 2 / r 3 = 4 2 / (G M) = 4 2 / ( 6,67 x 10 - 11 x 5,98 x 10 24) = 9,90 x 10 - 14 s 2 / m 3

Pour tout satellite gravitant autour de la Terre on a donc T 2 / r 3 = constante 10 - 13 s 2 / m 3 (26)

 

A VOIR :

Problème résolu de la leçon 12 ci-dessus : La lune. Troisième loi de Képler.

Exercice 12-A : Connaissances du cours n° 12.

Exercice 12-B : Satellite géostationnaire.

Exercice 12-C : Le satellite Planck.

Exercice 12-D : Principe de fonctionnement d'un GPS - Bac 2013 - France métropolitaine.

Exercice 12-E : Station spatiale ISS - Bac 2013 - Amérique du nord.

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