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EXERCICE 13-B : CONSERVATION DE l'ENERGIE MECANIQUE D'UN SOLIDE DANS LE CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME

 

 

ENONCE


Un enfant lance verticalement, vers le haut, une bille de masse m avec une vitesse initiale de 10,0 m / s.


1-
Quelle est la hauteur atteinte par la bille ? (corrigé)


2-
Quelle est la vitesse de cette bille lorsqu'elle frappe le sol situé 1,50 m au dessous de son point de départ ?

On néglige la poussée d'Archimède et les frottements de l'air. On prendra g = 9,80 m / s. (c)

 

SOLUTION

 

1- (énoncé) Calculons la hauteur atteinte par la bille.

 

Nous conviendrons de dire que l'énergie potentielle de la bille dans le champ de pesanteur est nulle lorsqu'elle se trouve au point de départ O (zO = 0 m) situé 1,50 m au dessus du sol (zA = - 1,50 m).

Au dessus de O l'énergie potentielle de la bille dans le champ de pesanteur sera positive. En dessous de O elle sera négative.

Au point O, on a :

EP (O) = 0 J (4)

En ce point O, la vitesse de la bille est VO = + 10,0 m / s. Son énergie cinétique est :

EC (O) = m VO2 (5)

L'énergie mécanique de la bille dans le champ de pesanteur terrestre vaut alors :

Em (O) = EC (O) + EP (O) = m VO2 + 0 (6)

En absence de frottement, líénergie mécanique de la bille dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se conserve en tout point de la trajectoire.

On peut donc écrire :

Em (S) = Em (O) (7)

EC (S) + EP (S) = EC (O) + EP (O) (8)

m VS2 + m g zS = m VO2 + m g zO (9)

Au sommet S de la trajectoire (voir la figure) la vitesse VS de la bille s'annule et, au point de départ O, l'ordonnée zO est nulle.

0 + m g zS = m VO2 + 0 (10)

Soit :

zS = VO2 / g (11)

zS = 10 2 / 9,80

zS = 5,10 m (12)

Remarque :

La relation zS = VO2 / g montre que l'altitude atteinte par la bille ne dépend pas de la masse de celle-ci.

Après avoir atteint le point S, la bille redescend en conservant toujours la même énergie mécanique. Elle repasse donc par le point de départ A (voir la figure) avec une vitesse de - 10 m / s (le signe - pour indiquer que la vitesse est alors représentée par un vecteur orienté vers le bas, en sens inverse de l'axe ).

 

2- (e) Calculons la vitesse de cette bille lorsqu'elle frappe le sol au point A situé 1,50 m au-dessous de son point de départ O (zA = - 1,50 m).

On écrit encore que l'énergie mécanique de la bille dans le champ de pesanteur terrestre est la même depuis le point de départ O jusqu'au point A en lequel elle frappe le sol.

Em (A) = Em (O) (13)

EC (A) + EP (A) = EC (O) + EP (O) (14)

Attention : Au point A (voir la figure) l'énergie potentielle dans le champ de pesanteur terrestre EP (A) = m.g.zA est négative car la masse m est positive, la norme g du vecteur pesanteur est positive mais l'altitude de la bille est négative ( zA = - 1,50 m).

La relation (14) s écrit :

m VA2 + m g zA = m VO2 + m g zO (15)

m VA2 + m g zA = m VO2 + 0 (16)

Divisons par m :

VA2 + g zA = VO2 + 0

VA2 = VO2 - 2 g zA (17)

VA2 = 102 - 2 ´ 9,8 ´ ( - 1,50 )

VA2 = 129,4 (18)

Des deux solutions mathématiques ± 11,37, il ne faut retenir que la solution négative (le vecteur vitesse a une ordonnée négative sur l'axe orienté vers le haut) (voir la figure) :

VA = - 11,37 m / s (19)

Remarque : Il est intéressant de refaire l'exercice en convenant de prendre nulle l'énergie potentielle de la bille dans le champ de pesanteur lorsqu'elle se trouve au niveau du sol.


A VOIR :

Exercice 13-A : Connaissances du cours n° 13.

Exercice 13-B : Conservation de l'énergie mécanique d'un solide dans le champ de pesanteur uniforme. (ci-dessus)

Exercice 13-C : Energie mécanique du pendule simple - Tension du fil.

Exercice 13-D : Variation de l'énergie mécanique d'un parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre.

Exercice 13-E : Energie mécanique d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme.

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