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EXERCICE 13-C : ENERGIE MECANIQUE DU PENDULE SIMPLE - TENSION DU FIL

 

ENONCE


Un pendule simple est constitué d’une bille de masse m = 200 g, suspendue à un fil de longueur L = 1,00 m.

On écarte le fil d’un angle = 70 ° par rapport à la verticale et on l’abandonne sans vitesse initiale. On néglige les frottements. On donne g = 9,8 N / kg.

1 - Calculer la vitesse de la bille à son passage par le point de plus basse altitude C.(corrigé)

2 - Calculer la tension F du fil pour les deux positions 1 = 30 ° (point B) puis 0 = 0 ° (point C). (c)

3 - On place au point I, tel que OI = 30 cm, une petite butée.

La bille est lâchée comme précédemment. On cherche à savoir jusque en quel point D la bille remontera. Calculer l’angle de remontée . (c)


SOLUTION


1 - (énoncé) Calculons la vitesse de la bille à son passage par le point de plus basse altitude C.

figure 1

Référentiel Galiléen : le solide Terre

Système étudié : la bille

Forces extérieures appliquées au système :

Le poids (essentiellement action gravitationnelle de la terre sur la bille). C'est une force conservative. (1)

La force (action du fil sur la bille). Elle ne fournit aucun travail car elle reste perpendiculaire au déplacement. (2)

Appliquons le théorème relatif à la conservation de l'énergie mécanique d'un système (voir la leçon 13) :

Lorsqu'un système est soumis à des forces conservatives et/ou à des forces dont le travail est nul, son énergie mécanique se conserve. (3)

L'énergie de la bille dans le champ de pesanteur terrestre se conserve :

Em (C) = Em (A)

Ec (C) + Ep (C) = Ec (A) + Ep (A)

m VC2 + m g zC = m VA2 + m g zA

VC2 = VA2 + 2 g ( zA - zC ) (4)

Par convention, posons zC = 0 m. La figure 1 donne :

zA = CE = CO – EO = = L – L cos 70° = L (1 – cos 70°) = 1 ( 1 - 0,342 ) = 0,658 m (5)

La relation (4) permet d'écrire :

VC2 = VA2 + 2 g ( zA - zC ) = 0 + 2 x 9,8 x (0,658 - 0) = 12,8968 m2 / s2

VC = 3,59 m/s 3,6 m/s (6)

2 - (e) Calculons la tension du fil au point B puis au point C.

Ecrivons donc que l'énergie mécanique de la bille en interaction avec la Terre est la même au point B qu'au point A :

Em (B) = Em (A) (7)

Ec (B) + Ep (B) = Ec (A) + Ep (A)

m VB2 + m g zB = m VA2 + m g zA

VB2 = VA2 + 2 g ( zA - zB ) (8)

Par convention, on a posé zC = 0 m.

zA = CE = 0,658 m (5 bis)

zB = CJ = CO - JO = L – L cos 30° = 1 – 1 x cos 30° = 0,134 m (9)

Portons ces valeurs dans la relation (4), en tenant compte du fait que la vitesse initiale VA est nulle.

VB2 = VA2 + 2 g ( zA - zB ) = 0 + 2 x 9,8 x (0,658 - 0,134)

VB2 = 10,27 m²/s²

VB = 3,20 m/s (10)

Raisonnons maintenant sur la bille. Elle est soumise à deux forces :

Le poids (essentiellement action de la terre sur la bille) (1)

La force (action du fil sur la bille) (2)

Appliquons la deuxième loi de Newton (revoir la leçon 9) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

(11)

Ici, on écrit :

+ = m (12)

Utilisons la base de Frenet (figure 2) :

figure 2

Dans la base de Frenet, le vecteur accélération s'écrit :

(13) (Lexique de physique)

Dans cette base de Frenet, on a, en posant P = et F = :

= P cos (60°) + P cos (150°) (14)

B = 0 + FB (15)

Reportons les expressions (13), (14) et (15) dans la relation (12) + = m :

P cos (60°) + P cos (150°) + 0 + FB = m ( )B + m

P cos (60°) + [ P cos (150°) + FB ] = m ( )B + m (16)

Identifions les coefficients de dans la relation (16) :

P cos (150°) + FB = m

Numériquement, on obtient (avec, dans ce problème, rayon r = L = 1,00 m) :

1,96 cos (150°) + FB = 0,200 x 10,27 / 1,00 soit :

FB = 3,75 N3,8 N (17)

Projetons la relation (12) + = m sur la normale unitaire de Frenet au point C (figure 3) :

P cos 180° + FC = m VC2 / L (18)

figure 3

Numériquement, la relation P cos 180° + FC = m VC2 / L (18) donne :

1,96 cos 180° + FC = 0,2 x 12,9 / 1 soit :

FC = 4,57 N4,6 N (19)

3 - (e) Calculons l’angle de remontée

figure 4

Le fil frappe la butée I. La bille remonte jusqu'au point D.

En l'absence de frottement, l’énergie mécanique se conserve encore :

Em (A) = Em (D) (20)

0 + m g zA = 0 + m g zD

On en déduit que D est à la même altitude que A :

zD = zA = 0,658 m. (21)

Dans le triangle rectangle IED on a :

cos = EI / DI = (CI – CE) / DI = (0,70 – 0,658) / 0,70 = 0,060

= 86,6 ° 87 ° (22)


A VOIR :

Exercice 13-A : Connaissances du cours n° 13.

Exercice 13-B : Conservation de l'énergie mécanique d'un solide dans le champ de pesanteur uniforme.

Exercice 13-C : Energie mécanique du pendule simple - Tension du fil. (ci-dessus)

Exercice 13-D : Variation de l'énergie mécanique d'un parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre.

Exercice 13-E : Energie mécanique d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme.

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