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EXERCICE 13-D : VARIATION DE L'ENERGIE MECANIQUE D'UN PARACHUTISTE DANS LE CHAMP DE PESANTEUR TERRESTRE

 

ENONCE


Un parachutiste, de masse totale m = 100 kg, saute à partir d'un hélicoptère en vol stationnaire (immobile par rapport à la Terre) d'une altitude de 3000 m. Durant la première phase de son saut la vitesse passe de 0 à 180 km / h. Puis, à l'ouverture du parachute, la vitesse décroît jusqu'à 18 km / h. La vitesse garde ensuite cette valeur jusqu'à l'atterrissage qui se fait sur un plateau situé à 500 m d'altitude.

Dans le problème on considérera que l'intensité de la pesanteur reste voisine de sa valeur au sol g = 9,8 N / kg.

1 - Calculer l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre lorsqu'il vient juste de quitter l'hélicoptère immobile par rapport à la Terre. Par convention, l'énergie potentielle du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre est prise nulle au niveau de la mer (z = 0). (corrigé)

2 - Calculer l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre juste avant son atterrissage. (c)

3 - L'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre est-elle restée constante ?

Quel est le travail de la force de frottement de l'air sur le parachutiste ? (c)

4 - La force de frottement est-elle constante durant le saut ?

Quelle était la valeur de cette force de frottement durant la dernière phase du saut à la vitesse constante de 18 km / h ? (c)

1 - De quelle hauteur devrait se faire une chute libre sans vitesse initiale pour que la vitesse à l'arrivée sur le sol soit également de 18 km / h ? (c)

 
SOLUTION


1 - (énoncé) Calculons l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre lorsqu'il vient juste de quitter l'hélicoptère immobile par rapport à la Terre.

Par convention, l'énergie potentielle du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre est prise nulle au niveau de la mer (z = 0).

Les vitesses sont mesurées par rapport au référentiel "Terre", Galiléen.

Lorsqu'il quitte l'hélicoptère (z1 = 3000 m) avec une vitesse nulle par rapport à la Terre (V1 = 0 m / s) l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre est :

Em1 = EC1 + EP1 = m V12 + m g z1 = 0 + 100 x 9,8 x 3000 (1)

Em1 = 2940000 J = 2,94 x 10 6 J (2)


2 -
(e) Calculons l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre juste avant son atterrissage (z2 = 500 m).

La parachutiste atterrit sur le plateau (z2 = 500 m) avec une vitesse V2 = 18 km / h = 18000 / 3600 = 5,0 m / s.

L'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre vaut alors :

Em2 = EC2 + EP2 = m V22 + m g z2 = ´ 100 ´ 52 + 100 x 9,8 x 500 = 1250 + 490000 (3)

Em2 = 491250 J = 4,91 x 10 5 J (4)


3 -
(e) Calculons l'énergie dissipée sous forme thermique par la force de frottement de l'air sur le parachutiste.

L'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre a varié de :

Em2 - Em1 = 491250 - 2940000 = - 2448750 J = - 2,45 x 10 6 J (5)

En présence de frottement, l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre varie. Ici, elle diminue. Elle se transforme, progressivement, en énergie calorifique (chaleur) qui échauffe le parachutiste et l'air.

La variation de l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre est égale au" travail" de la force de frottement exercée par l'air sur le parachutiste. Ce "travail" correspond à l'énergie calorifique qui se dégage.

W12 () = Em2 - Em1 = - 2,45 x 10 6 J (6)


4 -
(e) Voyons si la force de frottement exercée par l'air sur le parachutiste reste constante durant le saut.

Durant le saut, la force de frottement exercée par l'air sur le parachutiste varie :

Avant l'ouverture du parachute cette force de frottement est quasi nulle, le poids seul agit. (7)

La vitesse du parachutiste passe de 0 à 180 km / h.

A l'ouverture du parachute, la force de frottement est grande et prédomine par rapport au poids . (8)

La vitesse du parachutiste diminue et pendant que la vitesse diminue de 180 km / h à 18 km / h, la force de frottement diminue également.

Calculons la valeur de cette force de frottement durant la dernière phase du saut à la vitesse constante de 18 km / h.

Rappelons la première loi de Newton (principe de l'inertie) étudiée en classe de seconde et revue cette année (leçon 9) :

Un référentiel Galiléen est un référentiel dans lequel le principe de l’inertie est vérifié :

Dans un référentiel Galiléen, si la somme des forces extérieures appliquées à un système est nulle alors le centre d’inertie de ce système est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme. (9)

La réciproque est vraie : Si, dans un référentiel Galiléen, le centre d’inertie d'un système est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à ce système est nulle. (10)

Durant la dernière phase, on peut dire, en première approximation, que le mouvement est rectiligne uniforme. D'après la réciproque du principe de l'inertie on peut écrire :.

+ = (11) (les forces et se compensent)

= -

On obtient, en norme :

f = P = m x g = 100 x 9,8

f = 980 N (12)


5 -
(e) Calculons de quelle hauteur devrait se faire une chute libre sans vitesse initiale pour que la vitesse à l'arrivée sur le sol terrestre soit également de 18 km / h = 5 m / s.

(13)

En absence de frottement, l’énergie mécanique du sauteur dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se conserve (, seule force appliquée sur le mobile, est une force conservative).

Entre le point de départ A et le point d'arrivée O, on peut donc écrire :

Em (A) = Em (O) (14)

EC (A) + EP (A) = EC (O) + EP (O)

m VA2 + m g yA = m VO2 + m g yO (15)

Dans cette question, nous conviendrons de prendre nulle l'énergie potentielle du solide dans le champ de pesanteur lorsque ce solide se trouve au point d'arrivée O (yO = 0 m). (16)

Au départ A de la chute, la vitesse VA du solide est nulle et, à l'arrivée O, l'ordonnée yO est nulle. La relation (15) devient :

0 + m g yA = m VO2 + 0 (16)

g yA = VO2

yA = VO2 / 2.g = ( - 5 )2 / ( 2 x 9,8 )

yA = 1,28 m (17)

Se laisser tomber librement d'une hauteur de 1,28 m permet d'arriver au sol avec la même vitesse que le parachutiste équipé qui a fait un saut de 2500 m (3000 - 500).  

 

A VOIR :

Exercice 13-A : Connaissances du cours n° 13.

Exercice 13-B : Conservation de l'énergie mécanique d'un solide dans le champ de pesanteur uniforme.

Exercice 13-C : Energie mécanique du pendule simple - Tension du fil.

Exercice 13-D : Variation de l'énergie mécanique d'un parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre. (ci-dessus)

Exercice 13-E : Energie mécanique d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme.

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