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Leçon n° 13 : TRAVAIL D'UNE FORCE - ENERGIE

 

1- TRAVAIL D'UNE FORCE

 

1.1 Notion de travail

Un objet soumis à une force dont le point d'application se déplace peut :

être mis en mouvement (chariot, wagon, brique glissant sur une table, etc.).

changer d'altitude (valise que l'on monte au 3° étage d'un hôtel, pierre qui tombe, etc.).

se déformer temporairement (ressort, élastique) ou définitivement (voiture lors d'un choc).

voir sa température s'élever (patins d'un frein de bicyclette).

Dans tous ces cas on dit que la force fournit un travail. Cette grandeur est définie plus précisément ci-dessous.

 

1.2 Travail d'une force constante dont le point d'application suit un trajet rectiligne.

Une force constante est représentée par un bi-point qui reste parallèle à lui même et qui conserve le même sens et la même valeur au cours du temps.

Définition : Dans un référentiel donné, le travail d'une force constante dont le point d'application se déplace de A à B suivant une ligne droite est donné par :

WAB ( ) = . = . . cos ( , ) (1)

Souvent, on pose :

= F > 0

= AB > 0

( , ) = (en radian ou en degré)

Le travail de la force constante s'écrit alors :

WAB ( ) = . = F . AB . cos (2)

Unités :

Force = F en newton : ( N )

Déplacement = AB en mètre : (m)

Travail WAB en joule : (J)

Travail moteur, résistant ou nul :

Le signe du travail WAB ( ) = . = F . AB . cos a est celui de cos a. En effet = F et = AB sont positifs alors que la valeur de cos est comprise entre - 1 et + 1.

Si l' angle = ( , ) est aigu alors cos > 0 et WAB ( ) > 0. Le travail est moteur (voir l'exemple 1). (3)

Si l' angle = ( , ) est obtus alors cos < 0 et W AB ( ) < 0. Le travail est résistant (voir l'exemple 2). (4)

Si l' angle = ( , ) est droit () = 90° = / 2 rad alors cos = 0 et W AB ( ) = 0 J. Le travail est nul. (5)

Retenons qu'une force perpendiculaire à la trajectoire ne fournit aucun travail.  


1.3 Travail du poids

Dans un domaine de quelques centaines de mètres, on peut considérer que le poids d'un solide est constant.

Calculons le travail de pour un déplacement curviligne quelconque du centre de gravité G du solide partant du point A pour aboutir au point B.

(6)

Décomposons la trajectoire de A vers B en déplacements élémentaires rectilignes , , , etc. Ces déplacements rectiligne très courts permettent de décrire exactement le déplacement curviligne .

Le travail effectué par le poids entre les points extrêmes A et B est égal à la somme des travaux élémentaires :

WAB ( ) = dW1 + dW2 + dW3 + - - - = . + . + . + - - -

 WAB ( ) = . ( + + + - - - ) (7)

Mais ( + + + - - - ) = . Portons dans (7) :

WAB ( ) = . (8)

Exprimons le produit scalaire . en fonction des coordonnées des deux vecteurs :

WAB ( ) = . = Px . ( xB - xA ) + Py . ( yB - yA ) + Pz . ( zB - zA ) (8 bis)

Les coordonnées des vecteurs et sont :

( 0, 0, - P ) et ( xB - xA, yB - yA, zB - zA ). Portons dans (8 bis) :

WAB ( ) = 0 . ( xB - xA ) + 0 . ( yB - yA ) - P . ( zB - zA ) (9)

On sait que P = m . g. Portons dans (9) :

WAB ( ) = - m . g . ( zB - zA ) ou encore :

WAB ( ) = m . g . ( zA - zB ) (10)

m en kilogramme : kg

g en newton par kilogramme : N / kg

zA - zB en mètre : m

Le travail du poids d'un solide ne dépend que des altitudes des points de départ et d'arrivée de son centre de gravité. Il ne dépend pas du chemin suivi pour aller de A vers B. On dit que le poids est une force conservative.

Ce travail est positif (moteur) si le solide descend, négatif (résistant) si le solide monte, nul si les points A et B sont à la même altitude.

Remarque :

Appelons h la dénivellation entre A et B.

WAB () = . = .. cos ( , ) = ± m g h (11)

Signe + si m descend ( fornit un travail moteur) et signe - si m monte ( fournit un travail résistant)

 

1.4 Travail dune force électrique constante = q

 

(12)

Champ électrostatique dans un condensateur plan (classe de première)

Le champ vectoriel électrostatique dans un condensateur plan est uniforme car le vecteur qui le caractérise reste le même en tout point de l’espace (même direction, même sens et même norme). (13)

Ce champ vectoriel a une direction perpendiculaire aux plaques. (14)

Son sens est orienté de la plaque positive vers la plaque négative. (15)

Sa valeur est E = Upn / D. Elle s'exprime en V / m ou en N / C (définition ci-dessus). (16)

Les 2 plaques soumises à la tension Upn (volt) sont distantes de D (mètre). (17)

(18)

Travail de la force électrique dans le champ électrostatique uniforme

Lorsque la particule passe de a à b la force électrique F = q E fournit un travail Wab :

Wab () = . = q . = q . E . ab . cos ( , )

Mais : cos ( , ) = d / ab

Wab () = = q . E . d = q . (Uab / d) . d

Wab () = q . Uab (19)

Travail Wab est en J - Charge q en C - Tension Uab en V

Le travail de la force électrique dans le champ électrostatique uniforme ne dépend pas du chemin suivi par la particule chargée pour aller de a vers b. La force électrique est une force conservative.

 

1.5 Travail d'une force de frottement (force non conservative)

Une force de frottement peut être résistante ou motrice. (20)

a) Force de frottement résistante

Nous citerons comme exemple celui d'une luge chargée descendant une piste.
(21)

Si la luge suit le chemin rectiligne de A vers B, le travail de la force de frottement , supposé constante est :

W () = . = Rt . AB . cos (180°) = - Rt . AB (22)

Ce travail négatif est dit résistant.

Si le chemin pour aller de A vers B est différent alors le travail change de valeur. La force de frottement est non conservative. (23)

Pour un skieur descendant la piste à vitesse élevée, il faudrait ajouter la force de frottement due à l'air, également résistante.

b) Force de frottement motrice

(24)

Les 2 forces de frottement (sol / roue avant) sont motrices

 

Lorque la voiture passe de A à B la force (sol / roue avant) fournit un travail positif, moteur :

Wab () =. = F . AB . cos ( , ) > 0 (travail positif moteur) (25)

est en N - est en m - Wab est en J

Au niveau des roues arrières les forces de frottement fournissent un travai résistant négatif. (26)

 

Sur une route verglacée (frottements nuls) le moteur entraîne bien les roues avant mais la voiture n'avance pas car la force de frottement motrice (glace sur roues avant) est nulle. (27)

 

Une force de frottement est non conservative car son travail dépend du chemin suivi pour aller de A vers B. (28)

Remarque : Sans force de frottement motrice, il serait impossible de se déplacer sur terre à pied, à vélo, à moto, en voiture.


1.6 Exemples de calcul du travail fourni par une force

 

Exemple 1

Le mobile se déplace de A vers B

On donne = 60 N et = 5 m. On calcule :

W ( ) = .. cos 30°

W ( ) = 60 x 5 x 0,866

W ( ) = 260 J (29)

Le travail de est moteur, positif (angle aigu entre et )

(30)

cos 30° > 0

 

Exemple 2

Le mobile se déplace de A vers B. Visiblement la force tente de s'opposer à ce déplacement.

On donne = 50 N et = 3 m. On calcule :

W ( ) = .. cos 120°

W ( ) = 50 x 3 x ( - 0,50 )

W ( ) = - 75 J (31)

Le travail de est résistant, négatif (angle obtus entre et )

(32)

cos 120° < 0

Exemple 3

Skieur tracté le long de la piste OA.

On donne = 20°, = 60°

, force motrice, fournit un travail W ( ) = . = F . OA . cos (60°) > 0. (33)

(angle aigu de 60° entre et )

est, ici, résistant. Il fournit un travail W ( ) = . = P . OA . cos (110°) < 0. (34)

(angle obtus de 110° entre et )

, force résistante, fournit un travail W ( ) = . = R . OA cos ( , ) < 0. (35)

(angle obtus entre et ) 

(36)

cos 60° > 0

cos 110° < 0

cos ( , ) < 0

II faut regarder l'angle formé par la force et le vecteur déplacement .  

 

2- FORCES CONSERVATIVES - ENERGIES POTENTIELLES

 

A toute force conservative on peut associer une énergie potentielle.


2.1 Energie potentielle de pesanteur

Elle a été définie en classe de première S.

a) Rappel : poids d'un solide

En classe de première S nous avons défini le poids d'un solide. On le confond souvent avec la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur le solide et on écrit :

 

(37) avec g = gTerre = G M / r 2 (38)

P est en N - m est en kg - g est en N / kg

Le vecteur poids d'un solide s'applique en un point particulier appelé centre de gravité du solide.

b) Energie potentielle d'un solide en interaction avec la Terre

Définition : L'énergie potentielle d'un solide en interaction avec la Terre est définie par :

Epp = m g z (39) Epp est en J - m est en kg - g est en N / kg - z est en m

Epp est aussi appelée énergie potentielle de pesanteur. 

Remarque 1 : Il faut toujours préciser le plan horizontal par rapport auquel on repère l'altitude z du centre de gravité du solide car l'énergie potentielle dépend du choix de ce plan.

Remarque 2 : Il est incorrect de parler de l'énergie potentielle de la bille. Il faut parler de l'énergie potentielle de la bille en interaction avec la Terre. En effet, dans l'expression Epp = m g z (40) la Terre intervient par le vecteur pesanteur terrestre . Certains auteurs parlent aussi de l'énergie potentielle du solide dans le champ de pesanteur terrestre (énergie potentielle de pesanteur du solide) ou de l'énergie potentielle du système solide-Terre.

(41)

On se limite assez souvent aux situations localisées au voisinage de la Terre, dans une région de quelques centaines de mètres. On peut alors considérer le vecteur comme constant. Pour des mouvements où la différence d'altitude, de longitude ou de latitude est grande on devrait tenir compte de la variation du vecteur .

Lors d'un déplacement du solide l'altitude de son centre de gravité du solide peut varier modérément (alors la valeur de g peut être considérée comme constante) et la variation de l'énergie potentielle de ce solide en interaction avec la Terre, entre deux position A et B est :

Ep (B) - Ep (A) = m.g.zB - m..g.zA = m.g ( zB - .zA ) (42)

La relation ci-dessus WAB ( ) = m . g . ( zA - zB ) (10)permet d'écrire :

Ep (B) - Ep (A) = - WAB ( )

WAB ( ) = - Ep (B) - Ep (A) (43)

Le travail du poids d'un solide entre 2 points est l'opposé de la variation de son énergie potentielle de pesanteur entre ces 2 points.

Rappel :

Variation = Valeur finale - Valeur initiale (44)


2.2 Energie potentielle électrique

L'énergie potentielle électrique est associée à la force électrostatique, force conservative.

(45)

Lorsque la particule passe de a à b la force électrique = q fournit un travail Wab :

Wab () = q . Uab (19 bis)

  Wab est en J - q est en C - Uab est en V

Le travail de la force électrique dans le champ électrostatique uniforme ne dépend pas du chemin suivi par la particule chargée pour aller de a vers b. La force électrique est une force conservative.

L'énergie potentielle électrique de la charge q au point A est définie par :

EpA = q UA (46) (Il faut choisir une origine pour les potentiels)

On peut écrire :

Wab () = q . Uab = q ( Ua - Ub) = - q (Ub - Ua) (47)

Le travail de la force électrique entre 2 points est l'opposé de la variation de son énergie potentielle électrique entre ces 2 points.

 

3- ENERGIE MECANIQUE D'UN SYSTEME


3.1 Définition de l'énergie mécanique

L'énergie mécanique d'un système est égale à la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle :

Emécanique = Ecinétique + Epotentielle (48)


3.2 Conservation de l'énergie mécanique

L'énergie mécanique d'un système se conserve si le système est soumis :

- à des forces conservatives et / ou

- à des forces dont le travail est nul.

(49)

Voir les exercices 13 B, 13 D et 13 E.


3.3 Non conservation de l'énergie mécanique

La variation d'énergie mécanique d'un système est égale à la somme des travaux des forces non conservatives :

Emécanique finale - Emécanique initiale = Somme des travaux des forces non conservatives

(50)

Exemple : L'énergie mécanique d'un parachutiste en interaction avec la Terre ( Emécanique = m v2 + m g z ) diminue car des forces de frottement en transforment une partie en énergie calorifique (chaleur).

Voir l'exercice 13 C.


A VOIR :

Exercice 13-A : Connaissances du cours n° 13.

Exercice 13-B : Conservation de l'énergie mécanique d'un solide dans le champ de pesanteur uniforme.

Exercice 13-C : Energie mécanique du pendule simple - Tension du fil.

Exercice 13-D : Variation de l'énergie mécanique d'un parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre.

Exercice 13-E : Energie mécanique d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme.

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