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EXERCICE 5-C : LA HOULE (Bac 2006 - Afrique)

 

ENONCE :


On s'intéressera dans cet exercice à l'étude de la houle en haute mer, à savoir en eau profonde, et aux caractéristiques de celle-ci en fonction d'une échelle en intensité appelée
échelle de Beaufort.

Dans une revue maritime traitant du sujet, on peut lire le texte suivant :

Lorsque le vent souffle sur une mer calme, le frottement de l'air crée de petites rides puis des vaguelettes et enfin des vagues à mesure que la vitesse du vent augmente. L'ensemble de ces vagues, généré sur un intervalle de temps plus ou moins long, constitue la houle. Cette houle peut être décrite à l'aide de trois paramètres :

- La hauteur h, définie comme la distance verticale entre le sommet de la crête et le fond du creux de la vague.

- La longueur L, comme la distance entre deux crêtes ou deux creux successifs.

- La cambrure, définie comme le rapport de sa hauteur sur sa longueur.

Ainsi le phénomène de la houle peut être considéré comme une onde mécanique. Aussi on assimilera dans tout l'exercice la houle à une onde progressive périodique sinusoïdale rectiligne dont les paramètres caractéristiques peuvent varier suivant l'état de la mer.


·
1

1.1. Le schéma qui suit représente la surface de l'eau affectée par la houle à un instant donné. Placer sur le schéma identique donné en ANNEXE (à rendre avec la copie) les paramètres "hauteur" et "longueur". (c)

1.2. A quelle grandeur spatiale, caractéristique d'un phénomène ondulatoire, est associé le terme "longueur" du texte d'introduction ? Quelle est sa définition ? (c)

1.3. Quelle grandeur temporelle permet de caractériser une onde mécanique ? Quelle est sa définition ? (c)

L'échelle de Beaufort établie en 1805 - du nom de l'amiral de la marine britannique Francis Beaufort - graduée de 0 à 12 permet de caractériser la vitesse des vents. L'état de la mer étant directement lié à la vitesse du vent, cette échelle permet également de caractériser l'état de la mer et donc les conditions de navigation.

Le tableau qui suit présente les derniers degrés d'une échelle de Beaufort simplifiée que le candidat utilisera dans la suite de l'exercice.

On se place dans le cas où la cambrure des vagues notée Ca est telle que Ca = 1 / 7. On gardera cette valeur de cambrure pour tout le reste de l'exercice.


·
2

2.1. Donner l'expression reliant la hauteur h des vagues, leur longueur L et leur cambrure Ca. (c)

2.2. Déterminer alors la longueur des vagues pour les degrés 6, 8, 10 et 12 de l'échelle de Beaufort.

On placera les valeurs dans le tableau fourni en ANNEXE (à rendre avec la copie). (c)


·
3

3.1. Donner l'expression reliant la longueur L de la question 1.2, la célérité v de l'onde et sa période T. (c)

3.2. En déduire l'expression reliant la longueur L, la célérité v et la fréquence f de l'onde associée. (c)

3.3. Le tableau fourni en ANNEXE donne également les périodes associées aux différents degrés de l'échelle. Pour les degrés 7 et 10 de l'échelle de Beaufort déterminer la célérité v de l'onde associée.

On placera les valeurs dans le tableau fourni en ANNEXE (à rendre avec la copie). (c)


·
4

4.1. On donne en ANNEXE la courbe traduisant l'évolution v 2 = f (L).

Quel est le type de courbe obtenue ? Quelle expression mathématique simple relie alors le carré de la célérité à la longueur ? (c)

4.2. Calculer alors le coefficient k caractéristique de cette relation. On précisera l'unité de cette grandeur. (c)


·
5

5.1. Rappeler la définition d'un milieu dispersif. (c)

5.2. En utilisant la relation établie à la question 3.2 et celle établie à la question 4.2 déterminer l'expression littérale reliant la célérité v de la houle à sa fréquence f. (c)

5.3. Conclure quant à la nature dispersive de ce milieu. (c)

 

ANNEXE (A rendre avec la copie)

 

Tableau de valeur relatif aux questions 2.2 et 2.3 (Remplir les 6 cellules vides)

Echelle de Beaufort

5

6

7

8

9

10

11

12

Hauteur h de la houle (m)

2,00

3,00

4,00

5,00

7,00

9,00

11,5

14,0

Longueur L (m)

14,0

.

28,0

.

49,0

.

80,5

.

Période T (s)

2,10

2,60

3,00

3,50

4,00

4,50

5,10

5,60

Célérité (m/s)

6,67

8,08

.

11,0

12,3

.

15,8

17,5

Graphe pour traiter la question 4.1

 

SOLUTION :  


·
1

1.1. (e) Le schéma qui suit représente la surface de l'eau affectée par la houle à un instant donné. Plaçons sur ce schéma les paramètres "hauteur" et "longueur" :

 

1.2. (e) Indiquons à quelle grandeur spatiale, caractéristique d'un phénomène ondulatoire, est associé le terme "longueur" du texte d'introduction et précisons sa définition.

Le terme longueur L utilisé dans le texte d'introduction et désignant la "distance entre deux crêtes ou deux creux successifs" désigne, en fait, la longueur d'onde l de l'onde :

L = (1)

Définition : La longueur d'onde est définie comme étant la plus petite distance séparant 2 points, pris sur une droite support du vecteur célérité, possédant constamment le même mouvement.

1.3. (e) Précisons maintenant la grandeur temporelle permettant de caractériser une onde mécanique et donnons sa définition.

La grandeur temporelle permettant de caractériser une onde mécanique périodique est sa période temporelle T.

Définition : La période temporelle T d'une onde périodique est la plus petite durée au bout de laquelle un point quelconque du milieu se retrouve dans le même état vibratoire.

La période T s'exprime en seconde.


·
2

2.1. (e) Donnons l'expression reliant la hauteur h des vagues, leur longueur L et leur cambrure Ca.

La cambrure de la houle est définie comme le rapport de sa hauteur sur sa longueur :

Ca = h / L (2)

On en déduit :

L = h / Ca (3)

On se place dans le cas où la cambrure des vagues notée Ca est telle que Ca = 1 / 7(4).On gardera cette valeur de cambrure pour tout le reste de l'exercice. Par suite la relation (3) s'écrit :

L = 7 x h (5) ou l = 7 x h (5bis)

2.2. (e) Déterminons la longueur des vagues pour les degrés 6, 8, 10 et 12 de l'échelle de Beaufort et plaçons les valeurs dans le tableau fourni en ANNEXE.

Pour les degrés 6 (h = 3,00 m), 8 (h = 5,50 m), 10 (h = 9,00 m) et 12 (h = 14,0 m) la relation (5) L = 7 x h donne L = 21,0 m; 38,5 m; 63,0 m; 98,0 m

Reportons ces valeurs dans le tableau ci-dessous.


·
3

3.1. (e) Donnons l'expression reliant la longueur L de la question 1.2, la célérité v de l'onde et sa période T.

Utilisons la propriété suivante :

La longueur d'onde introduite à la question 1.2 est également égale à la distance parcourue par le front de l'onde en une période temporelle T.

On peut donc écrire :

= v . T (6) ou L = v . T (6 bis) (v désignant la célérité de l'onde dans le milieu où elle se propage)

3.2. (e) En déduire l'expression reliant la longueur L, la célérité v et la fréquence f de l'onde associée.

Comme T = 1 / f (7), la relation (6 bis) peut également s'écrire :

L = v / f (8) ou = v / f (8 bis)

3.3. (e) Le tableau fourni en ANNEXE donne également les périodes associées aux différents degrés de l'échelle. Pour les degrés 7 et 10 de l'échelle de Beaufort déterminons la célérité v de l'onde associée.

Les relations (6 bis) L = v . T et (5) L = 7 x h permettent d'écrire :

v = L / T = 7 h / T (9)

Pour les degrés 7 (h = 4,00 m; T = 3,00 s) et 10 (h = 9,00 m; T = 4,50 s) cette relation (9) v = 7 h / T donne :

Pour le degré 7 : v = 7 x 4,00 / 3,00 = 9, 33 m / s (10)

Pour le degré 10 : v = 7 x 9,00 / 4,50 = 14,0 m / s (11)

Complétons le tableau donné par l'énoncé :

Echelle de Beaufort

5

6

7

8

9

10

11

12

Hauteur h de la houle (m)

2,00

3,00

4,00

5,00

7,00

9,00

11,5

14,0

Longueur L (m)

14,0

.21,0

28,0

38,5

49,0

63,0

80,5

98,0

Période T (s)

2,10

2,60

3,00

3,50

4,00

4,50

5,10

5,60

Célérité (m/s)

6,67

8,08

9,33

11,0

12,3

14,0

15,8

17,5

· 4

4.1. (e) En ANNEXE on trouve la courbe reproduite ci-dessous traduisant l'évolution v 2 = f (L). Précisons le type de courbe obtenue et recherchons l'expression mathématique simple reliant alors le carré v 2 de la célérité à la longueur d'onde = L (1).

La courbe représentant v 2 en fonction de L est une droite passant par l'origine des coordonnées. Par conséquent v 2 est une fonction linéaire de la longueur d'onde . On peut écrire :

v 2 = k . (12)

4.2. (e) Calculons le coefficient k caractéristique de la relation v 2 = k . (12)

k = v 2 / (13)

k = OA / OC = 300 / 95

k = 3,2 m / (14)

L'unité de cette grandeur est le m / s², comme pour une accélération.


·
5

5.1. (e) Rappelons la définition d'un milieu dispersif (leçon 4).

Un milieu est dispersif pour un type d'ondes donné lorsque la célérité v des ondes qui s'y propagent dépend de la fréquence f de ces ondes.

5.2. (e) Déterminons l'expression littérale reliant la célérité v de la houle à sa fréquence f.

Utilisons les relations établies aux questions 3.2 et 4.2 :

= v / f (8 bis) et k = v 2 / (13)

On les écrit :

= v / f (8 bis) et = v 2 / k (13 bis)

On en déduit :

v / f = v 2 / k

Soit :

v = k / f (15) avec k = 3,2 m / (14)

5.3. (e) On peut en conclure que, pour la houle, l'eau est un milieu dispersif.

 

A VOIR :

Exercice 5-A : Connaissances du cours n° 5.

Exercice 5-B : Mesure de la vitesse du son.

Exercice 5-C : La houle. (ci-dessus)

Exercice 5-D : Ondes ultrasonores et Sonar.

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