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Leçon n° 5 : CARACTERISTIQUES DES ONDES (ondes progressives - caractéristiques : vitesse, retard)

 

1- ONDES PROGRESSIVES


1-1 Définition

On appelle onde progressive le phénomène de propagation d'une perturbation dans un milieu donné. (1)

Remarque : Le milieu donné peut être le vide dans le cas des ondes électromagnétiques.

 
1-2 Exemples d'ondes mécaniques progressives à une dimension


a)
Exemple 1 : Onde transversale

Définition: Une onde est dite transversale si elle provoque une perturbation de direction perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde. (2)

Secouons verticalement l'origine O d'une corde tendue horizontalement. La perturbation de courte durée (ou signal) se propage le long de la corde. Chaque point P se soulève verticalement puis reprend sa position initiale alors que le signal se déplace horizontalement le long de la corde. On dit que l'onde est transversale.

(3)

Remarque : On observe le phénomène de propagation de la perturbation dans le milieu matériel (corde) sans propagation de matière le long de la corde.


b) Exemple 2 : Onde longitudinale

Définition : Une onde est dite longitudinale si elle provoque une perturbation de direction parallèle à la direction de propagation de l'onde. (4)

Pinçons quelques spires proches de l'origine O d'un ressort tendu horizontalement. La perturbation de courte durée (ou signal) se propage le long du ressort. Chaque point P se déplace horizontalement puis reprend sa place. Le signal se déplace également horizontalement le long du ressort. On dit que l'onde est longitudinale.

(5)

Remarque : Les ondes sonores sont également longitudinales. (voir ci-dessous)


1-3 Exemple d'onde mécanique progressive à deux dimensions

· Onde transversale à la surface de l'eau

Laissons tomber une goutte d'eau en un point O de la surface de l'eau contenue dans une cuve à ondes. Des rides circulaires prennent naissance. Elles se propagent dans les deux dimensions du plan horizontal. Chaque point P (on peut le concrétiser en plaçant un petit morceau de liège) se soulève verticalement puis reprend sa place alors que les rides se déplacent horizontalement à la surface de l'eau. On dit que l'onde est transversale.

(6)


1-4 Exemple d'onde mécanique progressive à trois dimensions

Un acteur situé sur la scène d'un théâtre chante une note. Les auditeurs situés au balcon, à l'avant scène ou encore dans les coulisses entendent cette note. L'onde sonore s'est propagée dans les trois dimensions de l'espace. Chaque point P vibre longitudinalement dans la direction de propagation du signal. (7)

Remarque : Un petit poste radio, placé sous une cloche, devient inaudible lorsqu'on fait le vide. En effet, ce sont les molécules de gaz qui permettent, par leur vibration longitudinale, de transmettre le son depuis la source jusqu'au tympan de l'oreille de l'auditeur. Dans le vide, le son ne peut pas se propager.

 

2- QUELQUES CARACTERISTIQUES DES ONDES


2-1 Généralités

- Une perturbation se propage, à partir de la source, dans toutes les directions qui lui sont offertes. Dans les exemples ci-dessus nous avons vu qu'il existait des ondes à une, deux ou trois dimensions.(8)

- Contrairement au déplacement d'un mobile, le déplacement d'une perturbation se fait sans déplacement de matière. Dans les exemples ci-dessus, le point P reprend sa position initiale lorsque la perturbation s'éloigne. (9)

- Une perturbation se transmet de proche en proche sans transfert de matière mais avec transport d'énergie. Dans les exemples ci-dessus, de l'énergie est nécessaire pour provoquer le déplacement temporaire des différents points P. (10)

- Si une partie de l'énergie transportée par l'onde se transforme en chaleur, on dit que l'onde s'amortit. (11)

- Dans le cas d'une onde sur l'eau, l'énergie se répartit sur des rides circulaires de rayon croissant. La hauteur des vagues diminue. Cette atténuation de l'amplitude de la perturbation existe, dans les milieux à deux ou trois dimensions, même si l'énergie transportée  par la perturbation se conserve. Cette atténuation n'est pas due à un amortissement. (12)

Souvent atténuation due à la géométrie des milieux à deux ou trois dimensions et amortissement dû aux frottement des particules coexistent.

- Deux ondes peuvent se croiser sans se perturber.

(13)

C'est le cas, notamment, des ondes sonores.

- Vitesse de propagation d'une onde : La célérité (ou vitesse de propagation) d'une onde parcourant une distance D en un temps t est, par définition, égale au rapport D / t. On écrit :

V = D / t V est en (m/s) lorsque D est en (m) et t en (s) (14)

Souvent la vitesse de propagation (ou mieux célérité) d'une onde ne dépend que du milieu matériel dans lequel elle se déplace.

Plus le milieu est rigide, plus la célérité est grande. Ainsi, sur une corde, la célérité d'une onde est d'autant plus grande que la corde est tendue. Ainsi la célérité du son est plus grande dans un solide que dans l'eau et elle est plus grande dans l'eau que dans l'air. (15)

Plus l'inertie du milieu est grande, plus la célérité diminue. Ainsi, sur une corde, la célérité est d'autant plus grande que la masse linéique est faible.

Dans un milieu homogène et isotrope, la célérité d'une onde est constante. (16)

Remarque : Une onde lumineuse n'est pas une onde mécanique. Elle peut se propager dans le vide.

Nous verrons que dans le vide et dans l'air toutes les radiations lumineuses se propagent avec la même célérité c = 3 x 10 8 m / s. (17)

Dans l'eau la célérité dépend de la fréquence de la radiation (chaque "couleur" est caractérisée par sa fréquence). On dit que, pour les ondes lumineuses, l'eau est un milieu dispersif (voir le Lexique de physique). (18)

Remarque : La propagation d'une onde n'obéit pas aux mêmes lois que le mouvement d'un solide comme le montre le tableau comparatif suivant : (18)

MOUVEMENT D'UN MOBILE

PROPAGATION D'UNE ONDE

Il se fait selon une trajectoire bien précise.

Elle se fait, à partir d'une source, dans toutes les directions possibles

Il correspond à un transport de matière.

Elle ne correspond pas à un transport de matière.

Le mouvement d'un mobile est ralenti par les frottements avec le milieu matériel.

Dans un milieu matériel une onde peut être amortie mais cet amortissement porte davantage sur son amplitude que sur sa célérité.

Un mobile se déplace plus facilement dans le vide que dans un gaz et plus facilement dans un gaz que dans un liquide. Le déplacement d'un mobile dans les solides est impossible,

Une onde mécanique ne se propage pas dans le vide. Elle se propage plus vite dans les liquides que dans les gaz et fréquemment plus vite dans les solides que dans les liquides.

Le mouvement d'un mobile est modifié par un choc avec un autre mobile (modification de la vitesse, de la trajectoire, de l'énergie cinétique, déformation du solide, )

Une onde mécanique conserve ses caractéristiques après la rencontre avec d'autres ondes (même célérité après la rencontre, même forme des surfaces d'ondes, même fréquence pour une onde périodique, )

Il se fait à une vitesse qui dépend des conditions initiales (vitesse et accélération initiales).

La propagation d'une onde se fait à une célérité qui, pour de faibles amplitudes, ne dépend pas du mouvement initial de la source.

2-2 Notion de retard

Reprenons l'exemple de l'onde transversale se propageant sur une corde :

(19)Graphe des espaces à deux dates différentes t et t'

- La perturbation qui arrive au point M ', à l'instant t ', est celle qui est passé au point M, à l'instant t = t ' - avec :

= MM ' / V(20) est le temps mis par la perturbation pour passer du point M au point M ' et V est la vitesse de déplacement de cette perturbation.

 Remarque : On a supposé que l'amortissement était nul et que le milieu était non dispersif.

- La valeur y de la perturbation, à la date t fixée, varie avec l'abscisse x. Le graphe associé est un graphe des espaces à la date t. (21)

- La valeur y de la perturbation au point M, d'abscisse x donnée, varie avec la date t. Le graphe associé est un graphe des temps pour le point particulier M, d'abscisse x. (22)

- La valeur y de la perturbation dépend donc à la fois de la position x et de la date t. Toute représentation mathématique de la forme y = f (x, t) est hors programme. (23)

 

3- ONDES PROGRESSIVES PERIODIQUES


3-1 Onde progressive périodique à la surface de l'eau

- Dans la partie 1-3 ci-dessus, nous avons vu qu'une onde mécanique transversale se propage sur l'eau lorsqu'on laisse tomber une goutte d'eau en un point O de la surface. Les rides circulaires ne perturbent que temporairement cette surface. Très vite, celle-ci redevient immobile.

(6)

- Si, au lieu de laisser tomber une goutte d'eau, on frappe régulièrement (période temporelle T) la surface de l'eau avec la pointe d'un générateur d'ondes alors on provoque une onde progressive périodique transversale (la fréquence f = 1 / T est réglable et peut être lue sur le générateur d'onde). Chaque point de la surface de l'eau oscille suivant la verticale avec la même période temporelle T que celle du générateur d'ondes.

   

(24)

- Définition : On dit qu'une onde progressive est périodique si, une photographie du milieu de propagation, prise à un instant quelconque, montre une périodicité spatiale de l'onde. (25)


3-2 ONDE PROGRESSIVE SINUSOIDALE

 
a) Mouvement sinusoïdal de la source

- A l'instant 0, un vibreur commence à fonctionner, entraînant dans son mouvement l'origine S d'une corde tendue horizontalement (on élimine l'onde réfléchie à l'extrémité de la corde). Dans le repère , le mouvement de S est sinusoïdal. L'équation de son mouvement suivant l'axe vertical s'écrit :

yS = Ym sin ( ) (26)

Ym est l'amplitude du mouvement. (27)

T est la période temporelle (le mouvement de S se reproduit identique à lui-même au bout d'un intervalle de temps T). (28)


b) Graphe des temps de la source S.

La représentation graphique associée à yS = Ym sin ( ) (29) est le graphe des temps de la source S :

  (30)

Sur ce graphe des temps de la source apparaît bien la période temporelle T.


c) Graphe des temps d'un point P
1 de la corde

La vitesse de propagation de l'onde sur la corde est V.

Pour atteindre le point P1 de la corde le front de l'onde met un temps t1 = 0P1 / V. On peut dire que le point P1 reproduit le mouvement sinusoïdal de la source avec un retard t1 = OP1 / V.

(31)

Sur ce graphe des temps du point P1 apparaît également la période temporelle T.


d) Graphe des espaces de la corde à la date t.

  Reproduisons quelques "photos" de la corde à différentes dates. Le phénomène doit être de préférence enregistré en vidéo et étudié en projetant au ralenti ou en arrêt sur image.

(32)Onde tranversale sur une corde

Sur le dernier graphe des espaces (à la date t) apparaît nettement la périodicité spatiale de l'onde se propageant sur la corde. Cette période spatiale de l'onde est appelée la longueur l d'onde.


e) Relation entre la période spatiale l et la période temporelle T.

Les photos prises aux dates T / 4, T / 2 et T montrent clairement que la longueur d'onde est égale à la distance parcourue par l'onde, à la vitesse V, en une période T :

= V . T (33)

Dans le système international d'unités, l s'exprime en m, V en m / s et T en seconde.

Remarque : Comme f = 1 / T (34) , la relation (33) peut aussi s'écrire :

= V . T = V / f (34)

(35)

 

f ) Propriétés de la longueur d'onde

Remarque: Deux points distants de / 2 ont constamment des élongations " y " de signe opposé. On dit que deux points distants de / 2 vibrent en opposition de phase. (36)

 

4- ONDES SONORES ET ULTRASONORES


4-1 Classification des fréquences

L'oreille humaine est sensible aux ondes sonores périodiques de fréquences comprises entre 20 et 20 000 hertzs. Des infrasons sont émis et perçues par certains animaux comme les éléphants et les baleines. Des ultrasons de fréquence pouvant dépasser 100 000 Hz sont perçues par les dauphins et les chauve-souris. (37)

Remarque :

- Pour les ondes sonores de fréquences audibles (20 Hz < f < 20000 Hz) l'air est un milieu non dispersif. Toutes les ondes sonores audibles se déplacent à la même vitesse (cela est heureux pour les auditeurs se trouvant au fond d'une salle de concert). Cette vitesse du son dans l'air est de 343 m / s à 20 °C sous une pression de 1 atmosphère. (38)

- Les ondes sonores sont longitudinales (voir ci-dessus).


4-2 Analyse spectrale d'un son.

Un instrument musical peut émettre une onde sonore périodique mais non sinusoïdale :

(39)

Ce son périodique (T = 3,0 ms, f = 333 Hz) peut être décomposé en une somme de signaux sinusoïdaux de fréquence f, 2 f, 3 f, 4 f, etc et d'amplitude déterminée par le mathématicien Fourier dès le début du XIX° siècle. (36)

L'amplitude du signal sinusoïdal de fréquence f est celle du fondamental. les amplitudes des signaux de fréquence 2 f, 3 f, etc sont celles des harmoniques. (40)

· L'analyse spectrale du son donne :

- la hauteur du son liée à la fréquence f du fondamental. (41)

- le timbre du son liè au nombre et à l'amplitude des harmoniques. (42)


4-3 Niveau d'intensité sonore.

L'intensité sonore I reçue par l'oreille s'exprime en W / m2. (43)

Le seuil d'audibilité est Io = 1,0 x 10 - 12 W / m2. (44)

Le seuil de douleur est voisin de 25 W / m2. (45)

· Le niveau d'intensité sonore L ( de l'anglais "level" ) est plus facile à exploiter :

L = 10 log ( I / Io ) (46) avec Io = 1,0 x 10 - 12 W / m2 (47)

L s'exprime en décibel (dB) (48)

I

( W / m2 )

10 - 12

(seuil d'audibilité)

10 - 8

 

10 - 4

 

1

 

25

(seuil de douleur)

100

 

L = 10 log ( I / Io )

dB

0

 

40

 

80

 

120

 

134

 

140

 

 

A VOIR :

Exercice 5-A : Connaissances du cours n° 5.

Exercice 5-B : Mesure de la vitesse du son. (ci-dessus)

Exercice 5-C : La houle.

Exercice 5-D : Ondes ultrasonores et Sonar.

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