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EXERCICE 8-B : MOUVEMENTS RECTILIGNES

Mouvement rectiligne uniforme

Mouvement rectiligne uniformément varié

 

EXERCICE 1 : Mouvement rectiligne uniforme

 

ENONCE : 

Dans un repère orthonormé lié au référentiel terrestre les équations horaires d'un mobile ponctuel M sont :

x = - t + 4

y = 2 t + 3

z = 0

x, y et z sont en mètre et t est en seconde.

Le repère est sur le sol terrestre.

1 - Donner l'équation de la trajectoire et le graphe associé. (corrigé)

2 - Quelle est la valeur de la vitesse et celle de l'accélération à l'instant t ? (c)

3 - Quelle est la position du mobile aux dates 0 s et 8 s ? (c)

4 - Quelle est la distance parcourue entre les dates 0 s et 8 s ? (c)

 

SOLUTION :

 

1 - (énoncé) Cherchons l'équation de la trajectoire et le graphe associé.

Le vecteur a pour coordonnées :

x = - t + 3 (1)

y = 2 t + 4 (2)

z = 0 (3)

La troisième relation z = 0 (3) montre que le point M se déplace sur le sol terrestre dans le repère .

x = - t + 3 (1)

y = 2 t + 4 (2)

Trajectoire

La relation (1) donne :

t = 3 - x (4)

Portons dans la relation (2) :

y = 2 t + 4 = 2 (3 - x) + 4

y = - 2 x + 10 (5)La trajectoire est une droite.

 

Tracé de la trajectoire d'équation y = - 2 x + 9 (2)

(6)

 


2 - (e) Calculons la valeur de la vitesse et celle de l'accélération à l'instant t.

Le vecteur a pour coordonnées :

 

x = - t + 3 (1)

y = 2 t + 4 (2)

z = 0 (3)

Le vecteur vitesse a pour coordonnées :

Vx = dx / dt = - 1 m / s (7)

Vy = dy / dt = 2 m / s (8)

Vz = dz / dt = 0 m / s (9)

Le vecteur accélération a pour coordonnées :

ax = dVx / dt = 0 m / s2 (10)

ay = dVy / dt = 0 m / s2 (11)

az = dVz / dt = 0 m / s2 (12)

Valeur de la vitesse

V2 = Vx2 + Vy2 + 0 = (-1)2 + 22 += 1 + 4 = 5

V = 2,24 m / s (13)

Cette valeur de la vitesse est constante. On a donc un mouvement rectiligne uniforme. Le vecteur vitesse est représenté sur le schéma ci-dessous.

Valeur de l'accélération : les relations (10) à (12) montrent que l'accélération est nulle (le vecteur vitesse garde la même valeur et la même direction).

a = 0 m / s2 (14)

 

3 - (e) Indiquons les positions du mobile aux dates 0 s et 10 s.

Le vecteur a pour coordonnées :

 

x = - t + 3 (1)

y = 2 t + 4 (2)

z = 0 (3)

Vecteur 0 à la date 0 s :

x0 = - 0 + 3 = 3 m (15)

y0 = 2 x 0 + 4 = 4 m (16)

z0 = 0 m (17)

Vecteur 8 à la date 8 s :

x8 = - 8 + 3 = - 5 m (18)

y8 = 2 x 8 + 4 = 20 m (19)

z8 = 0 m (20)

 


4 - (e) Calculons la distance parcourue entre les dates 0 s et 8 s.

(21)

A la date 0 s le mobile est au point M0 (3 m, 4 m). (22)

A la date 8 s le mobile est au point M8 (- 5 m, 20 m). (23)

La distance parcourue entre ces 2 dates peut être calculée en se servant de la durée du parcours (8 s) et de la vitesse constante (V = 2,24 m / s) :

M0M8 = V (t8 - t0) = 2,24 x 8 = 17,9 m (24)

 

On retrouve ce résultat en se servant des coordonnées :

(M0M8)2 = (xM0 - xM8)2 + (yM0 - yM8)2 = (3 + 5)2 + (4 - 20)2 = 320 m2

M0M8 = 17,9 m (24 bis)

 

EXERCICE 2 : Mouvement rectiligne uniformément varié (vecteur accélération constant)

 

ENONCE :  


A la date to = 0 s une pierre est lancée verticalement vers le haut, à partir d'un point O, situé 1,5 m au dessus du sol, avec une vitesse Vo = 5 m / s. On repère sa position sur un axe vertical orienté vers le haut, (O, ) d'origine O. Son accélération, déduite des lois de Newton (leçon suivante), est a = - 9,8 m / s2.

1 - Exprimer, à la date t, la vitesse Vy de la pierre assimilée à un point M. (corrigé)

2 - Déterminer, à la date t, la position y = de la pierre. (c)

3 - A quelle date la pierre se trouve-t-elle 2,0 m au dessus de sol (point A) ? (c)

4 - Déterminer le sommet S de la trajectoire. A quelle date est-il atteint ? (c)

5 - A quelle date et avec quelle vitesse la pierre tombe-t-elle sur le sol au point B ? (c)

 

 


SOLUTION :

 

1 - (énoncé) Exprimons, à la date t, la vitesse V de la pierre assimilée à un point M.

L'énoncé donne l'accélération constante de la pierre :

ay = dVy / dt = - 9,8 m / s2 (25)

De dVy / dt = - 9,8 on déduit :

Vy = - 9,8 t + Cte (26)

A la date to = 0 s on a Vo = 5 m / s. Portons dans (26) :

 5 = - 0 + Cte (27)

On peut donc écrire :

Vy = - 9,8 t + 5 (28)

ay = - 9,8 m / s2 (25)

Vy = - 9,8 t + 5 (28)


2 - (e) Déterminons, à la date t, la position y = de la pierre.

Par définition :

Vy = dy / dt (28)

dy / dt = - 9,8 t + 5 (30)

On en déduit la primitive :

y = - 4,9 t2 + 5 t + Cte (31)

A la date t = 0 s on doit avoir y = 0 m. Portons dans (31) :

0 = 0 + 0 + Cte (32)

Par suite :

y = - 4,9 t2 + 5 t (33)

Le mouvement de la pierre satisfait à :

Position : y = - 4,9 t2 + 5 t (33)

Vitesse :   Vy = - 9,8 t + 5 (28)

ay = - 9,8 m / s2 (25)


3 - (e) Cherchons à quelle date la pierre se trouve 2,0 m au dessus du sol au point A.

Quand la pierre se trouve 2,0 au-dessus du sol, elle se trouve à yA = 2 - 1,5 = 0,5 m (34) au dessus de l'origine O de l'axe.

Portons cette valeur yA = 0,5 m dans l'équation (33) :

0,5 = - 4,9 t2 + 5 t

4,9 t2 - 5 t + 0,5 = 0 (35)

Le discriminant de cette équation du second degré est :

= b2 - 4 ac = (- 5)2 - 4 x 4,9 x 0,5 = 25 - 9,8 = 15,2

On obtient 2 dates solutions :

t1 = ( - b - ) / 2 a = (5 - 3,899) / 9,8 = 0,112 s (36)

t2 = ( - b + ) / 2 a = (5 + 3,899) / 9,8 = 0,908 s (37)

La pierre passe par le point A en montant (t1 = 0,112 s) puis en descendant (t2 = 0,908 s).

Position : yA = + 0,50 m (34)

Montée :  t1 = 0,112 s (36)

Descente : t2 = 0,908 s (37)


4 - (e) Déterminons le sommet S de la trajectoire et la date tS à laquelle il est atteint.

Etudions l'équation y = - 4,9 t2 + 5 t (33)

Sa dérivée dy / dt = Vy = - 9,8 t + 5 (30) s'annule pour - 9,8 tS + 5 = 0soit :

tS = 5 / 9,8 = 0,510 s (38)La vitesse VS est alors nulle puis la pierre redescend..

Portons cette valeur de tS = 5 / 9,8 = 0,510 s dans la relation (33) :

yS = - 4,9 tS2 + 5 tS = - 4,9 (0,510)2 + 5 x 0,510 = - 1,2745 + 2,550

yS = 1,276 m = 1,28 m (39)

Le sommet S de la trajectoire de la pierre se trouve à 1,28 m au dessus du point de départ O et à 1,28 + 1,50 = 2,78 m au dessus du point B situé sur le sol.

Position : yS = + 1,28 m (39)

Date : tS = 0,510 s (38)

Vitesse : VS = 0 m / s (45)


(e) 5 - Calculons la date et la vitesse de la pierre lorsqu'elle tombe sur le sol au point B.

On sait que yB = - 1,50 m (40)

Portons cette valeur dans la relation (33) y = - 4,9 t2 + 5 t :

- 1,50 = - 4,9 t2 + 5 t

4,9 t2 - 5 t - 1,50 = 0 (41)

= b2 - 4 ac = (- 5)2 - 4 x 4,9 x (- 1,5) = 25 + 29,4 = 54,4 (42)

Les 2 solutions sont :

t ' = ( - b + ) / 2 a = (5 + 7,376) / 9,8 = 12,376 / 9,8 = 1,263 s (43)

t " = ( - b - ) / 2 a = (5 - 7,376) / 9,8 = - 2,376 / 9,8 = - 0,2424 s (44)

La pierre tombe sur le sol au point B à la date t ' = tB = 1,263 s (43)

La relation Vy = - 9,8 t + 5 (28 bis)permet de calculer la vitesse au point B :

VB = - 9,8 x 1,263 + 5 = - 7,3774

Au point B :

Position : yB = - 1,50 m (40)

Date : tB = 1,263 s (43)

Vitesse : VB = - 7,38 m / s (45)

A VOIR :

Exercice 8-A : Connaissances du cours n° 8.

Exercices 8-B : Mouvements rectilignes. (ci-dessus)

Exercices 8-C : Mouvements circulaires

Exercice 8-D : Mouvement parabolique.

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