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EXERCICE 8-D : MOUVEMENT PARABOLIQUE

 

 Rappel :

ENONCE :

A la date t = 0, un plongeur quitte un tremplin avec une vitesse , de valeur 4,50 m / s, inclinée de a = 40° par rapport à l’horizontale. On étudie le mouvement du centre de gravité G du plongeur par rapport au référentiel terrestre supposé Galiléen. On associe à ce référentiel un repère orthonormé ( O, ) représenté sur le schéma ci-dessous.

· 1 Donner, à l’instant du départ, les coordonnées du vecteur position , du vecteur vitesse et du vecteur pesanteur . (corrigé)

On donne g = 9,8 m / s² et OG0 = 6 m = y0.

· 2 En appliquant le principe fondamental de la dynamique qui sera étudié plus loin dans le cours on peut établir les équations horaires donnant la position du point G à chaque instant de la trajectoire aérienne. On trouve :

= x + y avec :

x = V0 cos a t (1)

y = - g t2+ V0 sin a t + y0 (2)

Trouver l’équation littérale y = f ( x ) de la trajectoire.

Vérifier que cette équation, avec les valeurs numériques de l’énoncé, s’écrit :

y = - 0,41 x2 + 0,84 x + 6 (c)

· 3 Déterminer littéralement les coordonnées du vecteur vitesse et du vecteur accélération à l’instant t.

Représenter ces deux vecteurs au point G, sur le schéma ci-dessus. (c)

· 4 Calculer les coordonnées du point H où le plongeur pénètre dans l’eau.

Calculer la date et la vitesse du plongeur à l’arrivée au point H. (c)

 

SOLUTION :


·
1
(énoncé) Donnons, à l’instant du départ, les coordonnées du vecteur position , du vecteur vitesse et du vecteur pesanteur :

Lors du mouvement du plongeur, les coordonnées du vecteur position et du vecteur vitesse du centre d’inertie G changeront. Par contre, les coordonnées du vecteur pesanteur resteront les mêmes.


·
2
(e) En appliquant le principe fondamental de la dynamique (2° loi de Newton) qui sera étudié plus loin dans le cours on peut établir les équations horaires donnant la position du centre d’inertie G à chaque instant de la trajectoire aérienne. Dans ce problème, l'énoncé donne :

= x + y avec :

x = V0 cos a t (1)

y = - g t2+ V0 sin a t + y0 (2)

·Cherchons l’équation littérale y = f ( x ) de la trajectoire.

La relation (1) donne t = x / Vo cos a .

Portons dans la relation (2) :

y = - ( g / 2V0²cos² a )+ tan a x + y0 (3)

Numériquement avec g = 9,8 m/s², V0 = 4,50 m/s, y0 = 6 m et a = 40°, on obtient :

y = - 0,41 + 0,84 x + 6 (4)


·
3
(e) Déterminons littéralement les coordonnées du vecteur vitesse et du vecteur accélération à l’instant t.

·Rappelons les coordonnées du vecteur position = x + y :

x = V0 cos a t (1)

y = - g t2+ V0 sin a t + y0 (2)

·En dérivant par rapport au temps le vecteur position on obtient le vecteur vitesse :

(5)

Les coordonnées sont :

Vx = dx / dt = V0 cos a (6)

Vy = dy / dt = - g t + Vo sin a (7)

On peut également écrire :

= Vx + Vy (8)

Vx = 3,45 m/s (6 bis)

Vy = - 9,8 t + 2,89 (7 bis)

On peut également écrire :

= 3,45 + ( - 9,8 t + 2,89 ) (8 bis)

·En dérivant par rapport au temps le vecteur vitesse on obtient le vecteur accélération :

(9)

Les coordonnées de sont :

ax = dVx / dt (10)

ay = dVy / dt (11)

On peut également écrire :

= ax + ay (12)

ax = 0 m/ s² (10 bis)

ay = - 9,8 m/s² (11 bs)

On peut également écrire :

= 0 – 9,8 = – 9,8 (12 bis)

Représentons les vecteurs et du point G, sur un schéma :

Remarque : Le vecteur accélération s'obtient en dérivant une fois le vecteur vitesse c'est à dire en dérivant deux fois le vecteur position . On peut écrire :

= (13)

 
·
4
(e) Calculons les coordonnées du point H où le plongeur pénètre dans l’eau.

Lorsque G pénètre dans l’eau au point H on a yH = 0 m. On peut porter cette valeur dans (2) ou dans (4) :

La relation(4)y = - 0,41 + 0,84 x + 6s'écrit :

0 = - 0,41 x² + 0,84 x + 6

Calculons le discriminant D = b² - 4ac = 10,55

On en déduit les deux solutions :

·x1 = ( - b + Ö D ) / 2a = - 2,93 m (valeur à éliminer car xH est nécessairement positif d'après le schéma).

·x2 = ( - b - Ö D ) / 2a = 4,96 m

Les coordonnées du point H sont donc :

xH = 4,96 m et yH = 0 m (14)

·La date s’obtient en portant xH = 4,96 m dans la relation xH = Vo ´ cos a ´ tH (1) qui donne :

tH = xH / Vo ´ cos a = 4,96 / 4,5 cos ( 40° ) = 4,96 / 3,45

tH = 1,44 s (15)

·En portant tH = 1,44 s dans Vx = dx / dt = V0 cos a (6) et Vy = dy / dt = - g t + Vo sin a (7) on obtient les coordonnées du vecteur vitesse de G à l'arrivée au point H :

VHx = V0 cos a = 4,5 cos (40°) = 3,45 m/s (16)

VHy = - g tH + Vo sin a = - 9,8 ´ 1,44 + 4,5 sin (40°) = - 11,1 m/s (17)

La norme du vecteur est :

= 11,7 m/s (18)

Remarque :

On peut retrouver cette valeur de la vitesse en écrivant que l'énergie mécanique du plongeur seulement en interaction avec la Terre (absence de frottement) se conserve durant le saut (classe de première) (19)

Energie mécanique = Energie cinétique + Energie potentielle de pesanteur = cte (20)

m V ² + m g h = Cte (21)

m VO² + m g hO = m VH² + 0 (on prend le niveau de l'eau comme origine de l'énergie potentielle de pesanteur) (22)

VH² = VO² + 2 g hO (23)

VH² = 4,50 2 + 2 x 9,8 x 6 = 137,85

VH = 11,7 m / s (24)

A VOIR :

Exercice 8-A : Connaissances du cours n° 8.

Exercices 8-B : Mouvements rectilignes.

Exercices 8-C : Mouvements circulaires

Exercice 8-D : Mouvement parabolique (ci-dessus)

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