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EXERCICE 9-B : MOUVEMENT SUR UNE TABLE A COUSSIN D'AIR

 

Rappel : Champ de pesanteur terrestre

En un point donné M, au voisinage de la Terre, le poids d'un objet de masse m peut s'écrire :

= m est, par définition, le vecteur champ de pesanteur terrestre au point M considéré.

Ce vecteur champ de pesanteur terrestre possède :

une origine : le point M

une direction : la verticale passant par M

un sens : du haut vers le bas

une valeur : l'intensité g de la pesanteur au point M

La valeur de l'intensité g de la pesanteur dépend de la latitude du point M où l'on opère (g = 9,78 N / kg à l'équateur, g = 9,83 N / kg au pôle Nord, au niveau de la mer) et de son altitude (diminution d'environ 1 % tous les 30 km).

Champ de pesanteur uniforme :

Dans un domaine restreint au voisinage de la Terre (dimensions de l'ordre de quelques kilomètres), on peut considérer que le champ de pesanteur est uniforme : le vecteur champ de pesanteur a même direction, même sens et même valeur en tout point de ce domaine restreint.

 

EXERCICE : Mouvement rectiligne sur une table à coussin d'air

 

Le mobile autoporteur utilisé pour réaliser l'expérience schématisée ci-dessous, sur la table à coussin d'air, a une masse m = 615 g.

On néglige tous les frottements, ainsi que la masse de la poulie.

Une étincelle jaillit toutes les 40 ms et marque les points G0, G1, G2, G3, etc. On pose t = 40 ms = 0,040 s.

On peut déterminer avec une bonne précision les vitesses aux points G1, G2, G3, etc.

 

 

 

La vitesse VG1 est assimilée à G0G2 / (2 t) :

VG1 = G0G2 / (2 t) = (0,0175 + 0,0275) / (2 x 0,040) = 0,563 m / s

On calcule de même :

VG2 = G1G3 / (2 t) = 0,813 m / s

VG3 = G2G4 / (2 t) = 1,063 m / s

VG4 = G3G5 / (2 t) = 1,313 m / s

 

1 Représenter le graphe associé à v = f (t). (corrigé)

2 Déterminer le vecteur accélération du centre d'inertie. (c)

3 Enoncer la deuxième loi de Newton. En déduire la valeur des forces extérieures s'exerçant sur le mobile autoporteur. (c)

4 Calculer la valeur des forces extérieures s'exerçant sur le solide suspendu à l'extrémité de la portion verticale du fil. (c)

On donne g = 9,80 N / kg.

 

SOLUTION :


1 (e) Représentons le graphe associé à V = f (t)

Nous remarquons que lors de l'enregistrement de la trace Go, à la date to = 0 s, le mobile possédait déjà une vitesse Vo voisine de 0,32 m/s.


2 (e) Déterminons le vecteur accélération du centre d'inertie.

Le vecteur accélération s'écrit :

= a (1)

Calculons sa valeur :

a = (2)

La valeur de a est égale au coefficient directeur de la tangente à la courbe v = f(t). Ici, la tangente est confondue avec la droite tracée.

a = np / mn = 0,905 / 0,146

a = 6,20 m / s² (3)

 


3
(e) Calculons la valeur des forces extérieures s'exerçant sur le mobile autoporteur (palet).

Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Système étudié : le mobile autoporteur.

Le mobile est soumis à 3 forces extérieures :

: poids (essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le mobile).

: action normale de la piste sur le mobile. Ici, grâce au coussin d'air, on néglige les frottements.

: action du fil sur le mobile.

Les 3 forces sont représentées au point G. En fait :

est appliquée en G.

est appliquée au centre de la surface de contact palet / table.

est appliquée au point de contact palet / fil.

 

Appliquons la deuxième loi de Newton :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse m du solide par l'accélération de son centre d'inertie.

Ici, nous écrirons donc :

+ + = m (4)

Projetons sur les vecteurs de base :

Px + Rx + Tx = m ax (5)

Py + Ry + Ty = m ay (6)

Soit, en remarquant que : ay = 0 m/s² , Tx = T, Ty = 0 N, Px = 0 N, Rx = 0 N, Py = - P, Ry = R

0 + 0 + T = m ax (5 bis)

- P + R + 0 = 0 (6 bis)

(T, P et R désignent les normes positives des vecteurs forces)

On en déduit :

T = m ax = 0,615 x 6,20 = 3,81 N

R = P = m x g = 0,615 x 9,80 = 6,03 N

Finalement :

T = 3,81 N (7)

R = 6,03 N (8)

P = 6,03 N (9)


4 (e) Calculons la valeur des forces extérieures s'exerçant sur le solide suspendu à l'extrémité de la portion verticale du fil.

Sur le solide suspendu à l'extrémité de la portion verticale du fil s'exercent deux forces :

: essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le solide.

: action du fil sur le solide.

Si la poulie est de masse négligeable et si les frottements sont négligeables, alors le fil est tendu de la même façon avant et après la poulie :

T ' = T = 3,81 N (10)

De plus, les deux solides de masse m et M ont, à chaque instant, même valeur de l'accélération :

a ' = a = 6,20 m / s² (11)

La deuxième loi de Newton s'écrit pour le solide de masse M :

+ = M (12)

Projetons sur la verticale descendante :

P ' - T ' = M x a ' (13)

M x g - T ' = M x a '

M x 9,80 - 3,81 = M x 6,20

M (9,80 - 6,20) = 3,81

M = 3,81 / 3,60 = 1,06 kg (14)

Finalement les deux forces extérieures agissant sur le solide de masse M sont :

P ' = M x g = 1,06 x 9,8 = 10,4 N (15)

T ' = 3,81 N (16)

Si la masse de la poulie n'était pas négligeable, alors T ' serait supérieur à T = 3,81 N.

 

A VOIR :

Exercice 9-A : Connaissances du cours n° 9.

Exercice 9-B : Mouvement sur une table à coussin d'air. (ci-dessus)

Exercice 9-C : Chute verticale d'une bille dans un liquide.

Exercice 9-D : Mouvement d'une bille possédant une vitesse initiale verticale.

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