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EXERCICE 9-C : CHUTE VERTICALE D'UNE BILLE DANS UN LIQUIDE

 

Rappel : Poussée d'Archimède et force de frottement fluide

La surface d'un solide immergé dans un fluide (liquide, gaz) est constamment "frappée" par les molécules de ce fluide. Ces chocs sont à l'origine de la poussée d'Archimède. De plus, si ce solide se déplace par rapport au fluide, il apparaît des forces de "frottement fluide" sur toute la surface du solide.


A- Poussée d'Archimède

La poussée d'Archimède est une force de contact répartie sur la surface de contact solide-fluide. On la représente par un vecteur qui possède :

une origine : le centre d'inertie C du volume de fluide déplacé

une direction : la verticale passant par C

un sens : du bas vers le haut

une valeur : = fluide . V . g égale au poids du fluide déplacé

Unités :

La poussée d'Archimède s'exprime en newton (N)

La masse volumique du fluide fluide s'exprime en kilogramme par mètre cube (kg / m3)

Le volume de fluide déplacé V s'exprime en mètre cube (m3)

L'intensité de la pesanteur g s'exprime en newton par kilogramme (N / kg) ou en (m / s²)

Remarque : Le centre d'inertie C du volume de fluide déplacé peut être différent du centre d'inertie G du solide. C'est le cas, notamment, si le solide n'est que partiellement immergé dans le fluide ou s'il n'est pas homogène.

Par contre, dans le cas fréquent d'un solide homogène totalement immergé dans le fluide, le centre d'inertie C du volume de fluide déplacé est confondu avec le centre d'inertie G du solide.


B- Force de frottement fluide

Si un solide se déplace dans un fluide, il apparaît des forces de "frottement fluide" sur toute la surface du solide.

Ces forces de frottement fluide peuvent être résistantes (chute d'une bille ralentie par la présence d'air ou d'eau) ou motrices (feuille emportée par le vent).

Dans le cas d'un solide homogène animé d'un mouvement de translation dans le fluide, on les modélise par un vecteur de sens opposé au mouvement si les frottements sont résistants. Comme on étudie le mouvement du centre d'inertie G, on reporte en ce point toutes les forces extérieures agissant sur le solide, notamment .

La valeur f de la force de frottement dépend de la la nature du fluide. Elle dépend également de la vitesse V du solide en translation, de sa forme, de son état de surface.

Dans les exercices qui suivront, cette valeur de la force de frottement sera modélisée par une expression de la forme :

f = k.V n (par exemple f = k.V pour les vitesses faibles ou f = k.V 2 pour des vitesses plus importantes).

On peut aussi être amené à choisir une expression de la forme f = k1.V + k2.V 2 + ...

C'est l'expression qui donne la meilleure adéquation entre les prévisions théoriques et les résultats expérimentaux qui, bien évidemment, doit être retenue.

 

EXERCICE : CHUTE VERTICALE D'UNE BILLE DANS UN LIQUIDE

 

ENONCE :

Une bille en verre (masse volumique , rayon r) est lâchée, sans vitesse initiale, à la surface d'un tube vertical contenant de l'huile de ricin (masse volumique o).

1 - Exprimer, en fonction de l'intensité de la pesanteur terrestre g, du rayon r de la bille et des masses volumiques et o , le poids P et la poussée d'Archimède P exercée par le liquide sur la bille. (corrigé)

2- Etablir l'équation différentielle du mouvement de la bille sachant que, dans le domaine de vitesse étudié, la force de frottement fluide peut s'écrire sous la forme :

= - 6 r (1) (relation de Stokes, valable lorsque la vitesse reste faible)

est le coefficient de viscosité du liquide

est le vecteur vitesse de la bille en translation rectiligne

r est le rayon de la bille (c)

3- Déterminer, en fonction g, et o, l'accélération initiale de la bille. (c)

4- Déterminer, en fonction g, , o, r et , la vitesse limite de la bille. (c)

5- Calculer numériquement le coefficient de viscosité de l'huile de ricin sachant que la vitesse limite de la bille est Vlim = 0,71 mm / s. (c)

On donne :

r = 1 mm = 2600 kg / m3 o = 970 kg / m3 g = 9,81 N / kg

 

SOLUTION :

1 - (énoncé) Exprimons, en fonction de l'intensité de la pesanteur terrestre g, du rayon r de la bille et des masses volumiques et o, le poids P et la poussée d'Archimède .

Le volume de la bille est :

v = r3 (2)

Sa masse est :

m = v (3)

m = r3 (4)

Son poids s'exprime sous la forme :

P = m g = r3 g (5)

La poussée d'Archimède P exercée par le liquide sur la bille est égale au poids du liquide déplacé par la bille :

= v o g (6)

= v o g = r3 o g (7)


2- (e) Etablissons l'équation différentielle du mouvement de la bille sachant que, dans le domaine de vitesse étudié, la force de frottement fluide peut s'écrire sous la forme :

= - 6 r (8) (relation de Stokes, valable lorsque la vitesse reste faible)

Référentiel Galiléen : le solide Terre. On lui associe le repère ( O, ).

Système étudié : la bille.

Forces extérieures s'exerçant sur la bille :

Le poids , essentiellement dû à l'action gravitationnelle de la Terre sur la bille.

La poussée d'Archimède exercée par le liquide sur la bille.

La force de frottement fluide = - 6 r = - 6 r V (9) également exercée par le liquide sur la bille ( vitesse V > 0 ).

Appliquons la deuxième loi de Newton (revoir la leçon 11) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse m du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

(10)

Ici, ce théorème s'écrit :

+ + = m (11)

Utilisons les expressions :

= r3 g (5 bis)

= - r3 mo g (7 bis) (g >0)

= - 6 r V (9) (V varie mais reste > 0)

Il vient, avec = m (12) :

r3 g - r3 o g - 6 r V = m (13)

Soit :

r3 ( - o ) g - 6 r V = m (14)

Utilisons la relation donnant la masse de la bille m = r3 :

r3 ( - o ) g - 6 r V = r3 (14 bis)

Divisons des 2 cotés par r3

( - o ) g / - V 9 / (2 r2 ) = (14 ter)

Soit, en plaçant le terme constant dans le second membre :

+ V 9 / (2 r2 ) = g (1 - o / ) (15)

+ = C (16) avec

= 2 r 2 / 9 (17) et C = g (1 - o / ) (18)

Unités internationales : les trois termes de l'équation (16) doivent avoir la même unité (m / s²).

t et dt en (s) V et dV en (m / s) en (s) C en (m/ s²)

Remarque : est souvent appelée constante de temps associée au montage.


3-
(e) Déterminons, en fonction g, et o, l'accélération initiale ao = ()o de la bille.

A l'instant du départ t = 0 s, l'énoncé dit que la vitesse est nulle V0 = 0 m / s.

Portons dans l'équation différentielle + = C (16) On obtient : ()0 + 0 = Cavec C = g (1 - o / ) (18 ci-dessus)

ao = ()o = C = g (1 - o / ) (19)


4-
(e) Déterminons, en fonction g, , o, r et , la vitesse limite Vlim de la bille.

Initialement nulle, la force de frottement f augmente proportionnellement à la vitesse. Le moment vient où la force motrice motrice est compensée par la somme des deux forces résistantes + lim . La somme des forces + + lim est alors nulle (20) et, d'après la deuxième loi de Newton, l'accélération limite est également nulle :

lim = (21) .

La relation + = C (16) donne alors, avec () lim = 0 m / s² :

Vlim = x C = (2 r 2 / 9 ) x g ( 1 - o / )

Vlim = 2 g r 2 ( - o) / 9 (22)


5- (e) Calculons numériquement le coefficient de viscosité de l'huile de ricin sachant que la vitesse limite de la bille est Vlim = 0,71 mm / s.

L'énoncé donne :

r = 10 - 3 m = 2600 kg / m3 o = 970 kg / m3 g = 9,81 N / kg Vlim = 0,71 mm / s = 7,1 ´ 10 - 4 m / s

La relation Vlim = 2 g r 2 ( - o ) / 9 (23) peut aussi s'écrire :

= 2 g r 2 ( - o ) / ( 9 Vlim ) (24)

= 2 x 9,81 x 10 - 6 x ( 2600 - 970 ) / ( 9 x 7,1 x 10 - 4 )

= 19,62 x 10 - 6 x 1630 / ( 63,9 x 10 - 4 )

= 5,00 SI = 5,00 N.s / m² = 5,00 Pa.s (25) L'unité pour se déduit de la relation = - 6 r (8)

 

A VOIR :

Exercice 9-A : Connaissances du cours n° 9.

Exercice 9-B : Mouvement sur une table à coussin d'air.

Exercice 9-C : Chute verticale d'une bille dans un liquide. (ci-dessus)

Exercice 9-D : Mouvement d'une bille possédant une vitesse initiale verticale. 

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