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Leçon n° 9 : LES TROIS LOIS DE NEWTON

 

Cette leçon comporte six paragraphes.

 

1- CENTRE D'INERTIE D'UN SOLIDE


L'étude, dans le référentiel terrestre, du mouvement d'un solide lancé puis soumis à la seule action de son poids montre que les mouvements des points constituants le solide sont complexes. Un seul point a un mouvement plus simple que les autres : le centre d'inertie G qui, en l'absence de frottement, décrit une verticale ou une parabole.

Remarque :Tout système matériel est formé de particules quasi ponctuelles A1, A2, ... de masse m1, m2, ...

Le centre d'inertie de ce système coïncide avec son barycentre G défini par :

(1)

O étant un point quelconque (généralement origine d置n repère) on peut montrer que :

(2)

 Cas particuliers :

Pour un disque homogène le centre d'inertie G coïncide avec le centre du disque. (3)

Pour tout solide homogène possédant un centre de symétrie, le centre de symétrie coïncide avec le centre d'inertie de ce solide.  (4)

 

2- PREMIERE LOI DE NEWTON (principe de l'inertie)

 

2-1 Principe de l段nertie 

Un référentiel Galiléen est un référentiel dans lequel le principe de l段nertie est vérifié :

Dans un référentiel Galiléen, si la somme = des forces extérieures appliquées à un solide est nulle alors le vecteur vitesse du centre d'inertie de ce solide ne varie pas. (5)

De façon équivalente, on peut énoncer :

Dans un référentiel Galiléen, si la somme des forces extérieures appliquées à un solide est nulle alors le centre d段nertie de ce solide est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme. (6)

La réciproque est vraie :

Dans un référentiel Galiléen, si le vecteur vitesse du centre d'inertie d'un solide ne varie pas alors la somme = des forces extérieures appliquées au solide est nulle. (7)

De façon équivalente, on peut énoncer :

Si, dans un référentiel Galiléen, le centre d段nertie d'un solide est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à ce solide est nulle. (8)

  Rassemblons les énoncés de la première loi de Newton :

Dans certains référentiels, appelés référentiels Galiléens, si la somme des forces extérieures appliquées à un solide est nulle alors le centre d段nertie G de ce solide est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme, et réciproquement. (9)

On peut écrire :

reste constant en direction, sens et norme (dans un référentiel Galilen). (10)

Remarque :

Contrairement à ce que croyaient les anciens, un solide peut donc se déplacer bien que la somme des forces appliquées à ce solide soit nulle. Le véritable opposition n'est pas entre mouvement et repos mais entre mouvement rectiligne uniforme (le repos n'est qu'un cas particulier) et les autres types de mouvement. C'est un des mérites de Newton (1642-1727) d'avoir bien compris cela.

Si la somme des forces extérieures appliquées à un solide est nulle on dit que ce solide est pseudo-isolé. (11)

Comme cela a été rappelé en haut de page, un référentiel est un solide. Il est déterminé par la donnée de quatre points non coplanaires. On prend souvent un solide très concret comme une table d'expériences (référentiel du laboratoire). On peut également être amené à prendre un "solide" moins concret; c'est ce que l'on fait en particulier quand on choisit le référentiel de Copernic, "solide" construit à partir du centre du système solaire et de trois étoiles.

Le référentiel Galiléen absolument parfait n弾xiste pas. (12)

Le référentiel Héliocentrique (solide formé par les centres, non coplanaires, du soleil et de trois autres étoiles) peut être considéré comme étant Galiléen pour étudier les voyages interplanétaires (Terre ® Mars par exemple) ou pour étudier le mouvement des planètes autour du Soleil. (13)

Le référentiel Géocentrique (solide formé par les centres, non coplanaires, de la Terre et de trois étoiles) est considéré comme étant Galiléen pour étudier le mouvement des satellites terrestres. (14)

Le référentiel terrestre (référentiel du laboratoire, solide Terre) peut être considéré comme étant Galiléen pour les expériences dont la durée est courte par rapport au jour sidéral, ce qui est le cas de la plupart des expériences de mécanique réalisées sur Terre. (15)

Tous les référentiels en mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel Galiléen sont eux-mêmes Galiléens. (16)

  2-2 Exemples

Exemple n° 1 : Mouvement du centre d'inertie d'un solide pseudo-isolé dans un référentiel Galiléen.

Nous prenons comme référentiel spatial le solide Terre.

Lançons sur une table à coussin d'air horizontale un palet autoporteur muni d'un éclateur axial.

Les frottements étant nuls, les deux seules forces agissant sur le palet sont :

le poids (essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le mobile)

la force (action verticale de la table sur le mobile)

En absence de frottement la somme des forces agissant sur le mobile est nulle :

(17)

L'éclateur laisse sur le papier une trace concrétisant sa trajectoire. La trajectoire du centre d'inertie, située juste au-dessus de l'éclateur est semblable à celle de l'éclateur.

Cette trajectoire est la suivante :

(18)

Exemple 2 : Mouvement du centre d'inertie d'un solide pseudo-isolé dans un référentiel non Galiléen.

On reproduit l'expérience précédente mais on agite le chariot supportant la table à coussin d'air pendant que le palet se déplace.

Par rapport au référentiel "chariot agité" la trajectoire du centre d'inertie est maintenant la suivante :

(19)

Le solide chariot n'est pas, ici, un référentiel Galiléen car, bien que la somme des forces agissant sur le palet soit nulle, son centre d'inertie n'est pas animé d'un mouvement rectiligne uniforme.

Dans le paragraphe suivant nous allons examiner, d'un point de vue semi-quantitatif, ce que l'on peut dire de la somme des forces appliquées à un solide si la vitesse de son centre d'inertie par rapport à un référentiel Galiléen varie (c'est à dire si ce centre d'inertie G se déplace d'un mouvement qui n'est pas rectiligne uniforme).

 

3- DEUXIEME LOI DE NEWTON   (principe fondamental de la dynamique)

 

3-1 Définition de la quantité de mouvement d'un système

Le vecteur quantité de mouvement d'un système est égal au produit de la masse m du système par le vecteur vitesse du centre d'inertie = m . La quantité de mouvement s'exprime en kg m / s. (20)


3-1 Deuxième loi de Newton (principe fondamental de la dynamique)


Il est facile de constater, dans le référentiel terrestre supposé Galiléen, qu'une force peut ralentir ou accélérer le mouvement d'un solide.

La 2° loi de Newton fait intervenir le vecteur quantité de mouvement = m du système étudié.

 

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un système est égale à la dérivée par rapport au temps de son vecteur quantité de mouvement :

= (21)

En mécanique classique, on identifie la masse inertielle figurant dans cette loi de Newton et la masse gravitationnelle qui intervient dans la force de gravitation.

On peut considérer cette deuxième loi de Newton comme un principe justifié par toutes les conséquences qu'on en tire.

Pour un solide on peut simplifier l'énoncé de la 2° loi de Newton :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse m du solide par l'accélération = de son centre d'inertie G :

= m (22)

 

 Remarque : Si = alors = et, par conséquent, reste constant en direction, sens et norme (on retrouve la première loi de Newton). (23)

 

4- TROISIEME LOI DE NEWTON   (principe des actions réciproques)

 

4-1 Interaction de deux corps

On dit que deux corps A et B sont en interaction si l'état de mouvement ou de repos de l'un (A) dépend de l'existence de l'autre (B). Une interaction entre deux corps A et B suppose toujours deux actions réciproques : celle de A sur B et celle de B sur A. (24)


4-2 Troisième loi de Newton
(Loi des actions réciproques) :

A une interaction entre un objet A et un objet B correspondent deux forces : l'une exercée par A sur B, notée A / B, l'autre exercée par B sur A, notée B / A . Les deux forces associées à une même interaction sont toujours égales et opposées :

A / B = - B / A (25)

4-3 Exemples

Exemple n° 1 : Interaction à distance Terre / Lune.

La Terre attire la Lune avec une force . Réciproquement, la Lune attire la Terre avec une force égale et opposée à :

  = - (26)

(27)

Exemple n° 2 : Interaction de contact solide / sol.

Un solide, immobile par rapport à la Terre, appuie sur le sol horizontal avec une force . Réciproquement, le sol soutient le solide, avec une force , telle que :

= - (28)

(29)

Remarque :

Le vecteur est différent du vecteur poids du solide (leur point d'application, notamment, est différent). Le vecteur existe même en l'absence du sol. Si on confond le poids appliqué au centre de gravité G avec la force de Newton exercée par la Terre sur le solide, l'action réciproque représentant l'action du solide sur la Terre serait appliquée au centre de la Terre.

Sur le solide S s'exercent deux forces extérieures :

(poids) : essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le solide S (force à distance) (30)

: action verticale du sol sur le solide S (force de contact) (31)

(32)

Comme le solide est au repos dans le référentiel terrestre (Galiléen), on peut, d'après le principe de l'inertie, écrire :

+ = (33)

  4-4 Exercice : Inventaire des forces agissant sur un solide

Enoncé : Un joueur lance verticalement vers le haut un médecine-ball (ballon rempli de sable, de masse voisine de 1 kg).

a- Représenter sur un schéma les interactions entre le ballon et les autres objets pendant le lancer, la montée, la descente, la réception.

b- Pour chacune des quatre phases on précisera les forces extérieures agissant sur le ballon (faire quatre figures).

On négligera la poussée d'Archimède s'exerçant sur le ballon mais on tiendra compte des frottements entre le ballon et l'air.

Solution :

a- Représentons sur un diagramme les interactions entre le ballon et les autres objets pendant les quatre phases du mouvement du ballon par rapport au référentiel terrestre, supposée Galiléen.

Les objets en interaction sont représentés par des ellipses. Une interaction est représentée par un trait avec une flèche à chaque extrémité .

(34)

b- Pour chacune des quatre phases précisons, sur un schéma, les forces extérieures agissant sur le ballon. Les forces sont tracées à partir de centre d'inertie G du ballon.

Terre / ballon est la force exercée par la Terre sur le ballon que l'on confond avec le poids du ballon. (35)

main / ballon est la force exercée par la main du joueur sur le ballon. (36)

air / ballon est la force de frottement exercée par l'air sur le ballon. (37)

On néglige la poussée d'Archimède par rapport aux autres forces. (38)

(39)

 

Lancer : La somme des forces extérieures agissant sur le ballon est verticale, orientée vers le haut. Le vecteur accélération = / m est également vertical, orienté le haut (2° loi de Newton). Le vecteur dirigé vers le haut a une norme croissante (mouvement accéléré). (40)

Montée : La somme des deux forces extérieures agissant sur le ballon est verticale, orientée vers le bas. Le vecteur accélération = / m est également vertical, orienté le bas (2° loi de Newton). Le vecteur dirigé vers le haut a une norme décroissante (mouvement retardé). (41)

Descente : La somme des deux forces extérieures agissant sur le ballon est verticale, orientée vers le bas. Le vecteur accélération = / m est également vertical, orienté le bas (2° loi de Newton). Le vecteur dirigé vers le bas a une norme croissante (mouvement accéléré). (42)

Réception : La somme des forces extérieures agissant sur le ballon est verticale, orientée vers le haut. Le vecteur accélération = / m est également vertical, orienté le haut (2° loi de Newton). Le vecteur dirigé vers le bas a une norme décroissante (mouvement retardé). (43)

 

5- LE VECTEUR QUANTITE DE MOUVEMENT D'UN SYSTEME

 

5-1 Définition

Le vecteur quantité de mouvement d'un système est égal au produit de la masse m du système par le vecteur vitesse du centre d'inertie = m . (44)

Dans le cas fréquent où la masse du système reste constante la 2° loi de Newton s'écrit = = m (45)


5-2 Propulsion par réaction

Exemple : Une personne avec des patins à glace se touve immobile sur une piste horizontale verglacée. Sa une masse est m1 = 50 kg. Elle touche un sac posé sur la glace de masse m2 = 5 kg. Elle pousse le sac vers l'avant avec une vitesse V2 = 4 m/ s. Montrer qu'elle part vers l'arrière avec une vitesse V1 à calculer.

On considère le système personne et sac Il est soumis à 2 forces extérieures qui s'annulent : poids total et réaction de la piste. Ce système est pseudo isolé : = (46).

Sa quantité de mouvement nulle avant le lancer le reste après (47).

Sur un axe orienté dans le sens de on a :

0 = m1 V1 + m2 V2 (48)

m1 V1 = - m2 V2

V1 = - m2 V2 / m1 = - 5 x 4 / 50 =

V1 = - 0,40 m / s (49)

En lançant le sac vers l'avant, le patineur est propulsé vers l'arrière.

Fusée et avion à réaction : C'est sur ce modèle que fonctionne la propulsion des fusées ou des avions à réaction. Une turbine expulse une grande masse de gaz à grande vitesse. La fusée ou l'avion se mettent en mouvement en sens inverse. (50)

 

6- CONCLUSION


Rassemblons, pour terminer cette leçon, les 3 lois de Newton qui gouvernent la mécanique classique.

Première loi de Newton (Principe de l段nertie) 

Dans certains référentiels, appelés référentiels Galiléens, si la somme des forces extérieures appliquées à un solide est nulle alors le centre d段nertie G de ce solide est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme, et réciproquement. (51)

On peut écrire :

reste constant en direction, sens et norme (dans un référentiel Galilen). (52)

Deuxième loi de Newton (Principe fondamental de la mécanique classique)

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse m du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

(53)

Troisième loi de Newton (Principe des actions réciproques)

A une interaction entre un objet A et un objet B correspondent deux forces : l'une exercée par A sur B, notée A / B, l'autre exercée par B sur A, notée B / A . Les deux forces associées à une même interaction sont toujours égales et opposées :

A / B = - B / A (54)

 Des applications des lois de Newton sont données sous forme d'exercices ci-dessous et dans la leçon 10.

 

A VOIR :

Exercice 9-A : Connaissances du cours n° 9.

Exercice 9-B : Mouvement sur une table à coussin d'air.

Exercice 9-C : Chute verticale d'une bille dans un liquide.

Exercice 9-D : Mouvement d'une bille possédant une vitesse initiale verticale.

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